Calcular a derivada das funções:
y=4 x
y=4 x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é linear, com coeficiente angular (pendente) igual a .
O que é pedido: encontrar (ou
), ou seja, a taxa de variação instantânea de
em relação a
.
Informações dadas: a função é linear, com coeficiente angular (pendente) igual a
O que é pedido: encontrar
Passo 2
Vamos lembrar o conceito formal de derivada (isto vai te ajudar a entender o porquê do resultado). A derivada de uma função
em um ponto
é o limite do quociente incremental:
Aqui:
-
é a derivada em ; -
é um incremento pequeno em ; -
é a razão entre a variação de e a variação de (slope médio);
Quando, essa razão tende à inclinação da reta tangente (derivada).
Passo 3
Também há regras práticas que te poupam de recalcular limites toda hora. As duas que vamos usar são:
- Regra do monômio (regra da potência): para
,
com
sendo um número real (no que aparece em provas, geralmente inteiro).
2) Regra do fator constante: se com
constante, então
2) Regra do fator constante: se
Explicando em palavras: você pode puxar a constante para fora da derivada. Exemplo rápido:
.
Passo 4
Agora aplicamos as regras à função
. Veja que é um produto de uma constante por
, e
é
. Usando a regra do fator constante e a regra da potência:
Aqui eu usei que
.
Passo 5
Para reforçar (e te mostrar que está consistente com a definição limite), verifico também pela definição:
Tomando o limite quando
,
Portanto, pela definição,
, mesmo resultado.
Passo 6
Interpretação e dica para prova: a derivada constante
significa que a reta
tem inclinação
em todos os pontos — a taxa de variação é a mesma em qualquer
. Regra rápida que salva tempo: para qualquer função linear
, a derivada é
. Exemplo rápido:
.