Calcular a derivada das funções:
y=4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \,y=4x.
Informações dadas: a função é linear, com coeficiente angular (pendente) igual a \,4.
O que é pedido: encontrar \,\dfrac{dy}{dx} (ou y'), ou seja, a taxa de variação instantânea de y em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar o conceito formal de derivada (isto vai te ajudar a entender o porquê do resultado). A derivada de uma função f em um ponto x é o limite do quociente incremental:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada em x;
  • h é um incremento pequeno em x;
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a razão entre a variação de f e a variação de x (slope médio);
    Quando h\to0, essa razão tende à inclinação da reta tangente (derivada).

Passo 3

Também há regras práticas que te poupam de recalcular limites toda hora. As duas que vamos usar são:
  1. Regra do monômio (regra da potência): para f(x)=x^n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n x^{n-1},
com n sendo um número real (no que aparece em provas, geralmente inteiro).
2) Regra do fator constante: se f(x)=a\cdot g(x) com a constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x).
Explicando em palavras: você pode puxar a constante para fora da derivada. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(3x^2)=3\cdot \dfrac{d}{dx}(x^2)=3\cdot 2x=6x.

Passo 4

Agora aplicamos as regras à função \,y=4x. Veja que é um produto de uma constante por x, e x é x^1. Usando a regra do fator constante e a regra da potência:
y'=\frac{d}{dx}(4x)=4\cdot\frac{d}{dx}(x)=4\cdot 1=4.
Aqui eu usei que \dfrac{d}{dx}(x)=\dfrac{d}{dx}(x^1)=1\cdot x^{0}=1.

Passo 5

Para reforçar (e te mostrar que está consistente com a definição limite), verifico também pela definição:
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{4(x+h)-4x}{h}=\frac{4x+4h-4x}{h}=\frac{4h}{h}=4.
Tomando o limite quando h\to0,
\lim_{h\to0}4=4.
Portanto, pela definição, y'=4, mesmo resultado.

Passo 6

Interpretação e dica para prova: a derivada constante 4 significa que a reta y=4x tem inclinação 4 em todos os pontos — a taxa de variação é a mesma em qualquer x. Regra rápida que salva tempo: para qualquer função linear \,y=ax+b, a derivada é \,a. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(5x+7)=5.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=4

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