Calcular a derivada das funções:
4.1 y=4 x cdot e^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função y = 4x cdot e^x. Aqui o conteúdo é derivada de produto de funções, e vamos precisar usar a regra do produto, que diz: se y = u(x),v(x), então y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x).

Passo 2

Vamos identificar as funções que formam o produto: u(x) = 4x e v(x) = e^x. Calculando as derivadas parciais temos:
u'(x) = 4, porque a derivada de 4x em relação a x é 4.
v'(x) = e^x, pois a derivada da exponencial e^x é ela mesma.

Passo 3

Aplicando a regra do produto obtenho:
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 4

Substituindo os valores de u, u', v, v' resulta em:
y' = 4 cdot e^x + 4x cdot e^x

Passo 5

Por fim, podemos fatorar 4e^x para simplificar:
y' = 4e^x,(1 + x)

Resposta

y' = 4e^x(1 + x)

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