Calcular a derivada das funções:
4.6 y=e^x1+x

Passo 1

A questão pede a derivada da função y=e^x1+x. Isso envolve dois conteúdos principais: a derivada da função exponencial e^x e a regra do quociente.

Passo 2

Para derivar um quociente de funções, se y=uv, aplicamos a regra do quociente:
y'=u'v - u v'v^2
Aqui identificamos u=e^x e v=1+x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
  • u=e^x implica u'=e^x porque a derivada de e^x é ele mesmo.
  • v=1+x implica v'=1 pois a derivada de 1 é zero e de x é um.

Passo 4

Substituímos u, v, u' e v' na regra do quociente e simplificamos:
y'=e^x(1+x)-e^xcdot1(1+x)^2=e^xl((1+x)-1r)(1+x)^2=x,e^x(1+x)^2

Resposta

y'=x,e^x(1+x)^2

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