(2,0 pts.) Considere a região R no plano limitada pela elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1, percorrida no sentido anti-horário. Calcule
\oint_{R}\left(y^{3}-\operatorname{sen} x\right) d x+\left(3 x y^{2}+e^{y}\right) d y .

Passo 1

O enunciado dá a curva fechada C que é a fronteira da região R definida pela elipse
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1
percorrida no sentido anti-horário, e pede o valor de
\oint_{C}\bigl(y^{3} - \operatorname{sen} x\bigr)\,dx + \bigl(3xy^{2} + e^{y}\bigr)\,dy.
Como P(x,y)=y^{3}-\operatorname{sen} x e Q(x,y)=3xy^{2}+e^{y} são funções C^{1} em toda a região fechada, vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2} + e^{y}\bigr) = 3y^{2},
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3} - \operatorname{sen} x\bigr) = 3y^{2}.

Passo 4

Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3y^{2} - 3y^{2} = 0.
Portanto
\iint_{R}0\,dA = 0,
e o integrando duplo é nulo.

Resposta

0

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