Seja C a curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1, no plano x y, e seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y+y^{3}, x^{2}+3 x y^{2}\right) .
(a) (2,0 pts.) Determine se \mathbf{F} é conservativo no domínio considerado.
(b) (2,0 pts.) Caso seja conservativo, calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha. Caso contrário, calcule a integral diretamente. Justifique cada passo.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
\mathbf{r}(t) = (t,\,t^2),\quad 0 \le t \le 1,
e o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(2xy + y^3,\;x^2 + 3xy^2\bigr).
O que precisamos fazer é:
  1. Verificar se \mathbf{F} é conservativo em \R^2 (domínio de definição polinomialmente inteiro e simplesmente conexo).
  2. Caso seja, achar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} e aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha para calcular \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Para testar se \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo em \R^2 basta conferir se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}
em todo \R^2. Aqui
P(x,y)=2xy+y^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2x+3y^2,
Q(x,y)=x^2+3xy^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x+3y^2.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio \R^2 é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Vamos encontrar \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y).
Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(2xy+y^3\bigr)\,dx = x^2y + x\,y^3 + g(y),
onde g(y) é “constante” de integração dependendo só de y.
Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^2 + 3xy^2 + g'(y) \stackrel{!}{=} Q(x,y)=x^2+3xy^2.
Logo g'(y)=0, ou seja g(y)=C. Podemos escolher C=0 e ficar com
\varphi(x,y)=x^2y + x\,y^3.

Passo 4

Como \mathbf{F}=\nabla\varphi, o Teorema Fundamental da Integral de Linha diz
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\varphi\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)-\varphi\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Temos \mathbf{r}(1)=(1,1) e \mathbf{r}(0)=(0,0), então
\varphi(1,1)=1^2\cdot1 + 1\cdot1^3 = 2, \qquad \varphi(0,0)=0.
Logo
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2-0=2.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo em \R^2, pois \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio é simplesmente conexo.
(b) \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2.

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