Seja
a curva parametrizada por
, no plano
, e seja o campo vetorial
(a) (2,0 pts.) Determine se
é conservativo no domínio considerado.
(b) (2,0 pts.) Caso seja conservativo, calcule
pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha. Caso contrário, calcule a integral diretamente. Justifique cada passo.
(b) (2,0 pts.) Caso seja conservativo, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
e o campo vetorial
O que precisamos fazer é:
- Verificar se
é conservativo em (domínio de definição polinomialmente inteiro e simplesmente conexo). - Caso seja, achar uma função potencial
tal que e aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha para calcular .
Passo 2
Para testar se
é conservativo em
basta conferir se
em todo
. Aqui
Como
e o domínio
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Vamos encontrar
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é “constante” de integração dependendo só de
.
Agora impomos
Agora impomos
Logo
, ou seja
. Podemos escolher
e ficar com
Passo 4
Como
, o Teorema Fundamental da Integral de Linha diz
Temos
e
, então
Logo
Resposta
(a)
é conservativo em
, pois
e o domínio é simplesmente conexo.
(b) .
(b)