Calcular a derivada da seguinte função: f(x)=x^3 cot (2 x), com x in(0, pi2).
Escolha uma opção:
f^prime(x)=3 x^2 cot (2 x)-2 x^3 csc ^2(2 x)
f^prime(x)=3 x^2 cot (2 x)+x^3 csc ^2(2 x)
f^prime(x)=-6 x^2 csc ^2(2 x)
f^prime(x)=-x^3 csc ^2(2 x)
f^prime(x)=3 x^2 cot (2 x)-x^3 csc ^2(2 x)

Passo 1

A função é f(x)=x³·cot(2x). O conteúdo é derivada de produto de funções e derivada de cotangente composta. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

A regra do produto diz que para u(x)·v(x) temos
(uv)' = u'v + uv'

Passo 3

Aqui u(x)=x³ e v(x)=cot(2x). Derivando cada uma:
  • u’(x)=3x²
  • Para v(x)=cot(2x) usamos derivada de cot(u): (cot u)’ = -csc²(u)·u’. Como u=2x, u’=2. Logo:
    v’(x) = -csc²(2x)·2 = -2,csc²(2x)

Passo 4

Substituindo na regra do produto temos:
f'(x)=3x²·cot(2x) + x³·l(-2,csc²(2x)r) ²³²
Simplificando o sinal:
f'(x)=3x²,cot(2x) - 2x³,csc²(2x) ²³²

Resposta

f’(x)=3x{2}\cot(2x)-2x{3}\csc^{2}(2x)

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