Considere as funções
l f(x)=cos (pi-4 x^2)-5 g(y)=-raizpi-arcos(y+5)4, S(y)=raizpi-arcos(y+5)4, T(y)=raizpi-arcos(y-5)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [0, raiz (2 pi / 4)] e a inversa é dada por g(y).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=cosl(pi-4x^2r)-5,
e define ainda
g(y)=-raizpi-arccos(y+5)4, S(y)=raizpi-arccos(y+5)4, T(y)=raizpi-arccos(y-5)4
Precisamos verificar se f é invertível em [0,,\sqrt{2\pi/4}] e se sua inversa coincide com g(y). O conteúdo é análise de monotonicidade e cálculo de inversa de uma função composta com cosseno.

Passo 2

Calculamos a derivada para estudar a monotonicidade. Temos
f'(x)=ddxl[cos(pi-4x^2)-5r] =-l(-sin(pi-4x^2)r)cdot(8x) =8x,sin(4x^2)
No intervalo [0,,\sqrt{\pi/2}] (que é o mesmo de [0,,\sqrt{2\pi/4}]) a quantidade 4x^2 varia de 0 a 2\pi. Assim sin(4x^2) muda de sinal em 4x^2=pi, logo f’(x) é positiva até x=raizpi/2approx0,886 e negativa depois até x=raizpi/2approx1,253. Portanto f não é monotônica nem injetora em todo esse intervalo.

Passo 3

Agora vejamos a resolução explícita de f(x)=y. Escrevendo
cos(pi-4x^2)-5=y $$
\cos(\pi-4x^2)=y+5
$$ cos(pi-4x^2)=y+5 $$
\cos(4x^2)=-(y+5)
-cos(4x^2)=y+5 ã
4x^2=\arccos\bigl(-(y+5)\bigr)=\pi-\arccos(y+5)
cos(4x^2)=-(y+5) í
x=\pm\sqrt{\frac{\pi-\arccos(y+5)}{4}}.
4x^2=arccosl(-(y+5)r)=pi-arccos(y+5) é
x=S(y)=\sqrt{\frac{\pi-\arccos(y+5)}{4}},
$$
e não x=pmraizpi-arccos(y+5)4 .

Passo 4

Concluímos que f não é injetora em todo [0,,\sqrt{2\pi/4}] e que a inversa correta, quando existe, é dada por S(y) e não por g(y).

Resposta

A afirmação é falsa.

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