Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e define ainda
Precisamos verificar se f é invertível em [0,,\sqrt{2\pi/4}] e se sua inversa coincide com g(y). O conteúdo é análise de monotonicidade e cálculo de inversa de uma função composta com cosseno.
Passo 2
Calculamos a derivada para estudar a monotonicidade. Temos
No intervalo [0,,\sqrt{\pi/2}] (que é o mesmo de [0,,\sqrt{2\pi/4}]) a quantidade 4x^2 varia de 0 a 2\pi. Assim
muda de sinal em
, logo f’(x) é positiva até
e negativa depois até
. Portanto f não é monotônica nem injetora em todo esse intervalo.
Passo 3
Agora vejamos a resolução explícita de
. Escrevendo
\cos(\pi-4x^2)=y+5
$$
$$
\cos(4x^2)=-(y+5)
4x^2=\arccos\bigl(-(y+5)\bigr)=\pi-\arccos(y+5)
x=\pm\sqrt{\frac{\pi-\arccos(y+5)}{4}}.
x=S(y)=\sqrt{\frac{\pi-\arccos(y+5)}{4}},
$$
e não .
e não
Passo 4
Concluímos que f não é injetora em todo [0,,\sqrt{2\pi/4}] e que a inversa correta, quando existe, é dada por S(y) e não por g(y).
Resposta
A afirmação é falsa.