Evaluate the integrals in Exercises 7-20.
integral1^e integral1^e integral1^e ln r ln s ln t d t d r d s (rst-space)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla sobre o cubo
$ [1,e]\times[1,e]\times[1,e]$ do integrando [1,e]times[1,e]times[1,e]. O conteúdo é integral múltipla com integrando separável, e vamos precisar usar a propriedade de separabilidade e a fórmula de integração por partes para ln r,ln s,ln t.

Passo 2

Como o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes, podemos separar a integral em produto de três integrais iguais:
integral1^eintegral1^eintegral1^e ln r,ln s,ln t,dt,dr,ds = l(integral1^eln x,dxr)^3

Passo 3

Para calcular integral1^eln x,dx, usamos integração por partes. Tomando u=ln x e dv=dx, temos du=tfrac1xdx e v=x. Logo:
integralln x,dx = xln x - integral xcdot 1x,dx = xln x - integral1,dx = xln x - x + C
Avaliando de 1 a e:
integral1^eln x,dx = l[eln e - er] - l[1ln1 -1r] = (e - e) - (0 -1) = 1

Passo 4

Substituindo na separação, a integral tripla fica
l(integral1^eln x,dxr)^3 = 1^3 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados