Calcular a derivada da seguinte função vetorial:
f(t)=e^-t cdot imath+e^-2 t cdot jmath+k

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada dessa função vetorial:
f(t) = e^-t cdot imath + e^-2t cdot jmath + k
Aqui estamos lidando com cálculo de derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e lembrar que cada componente da função vetorial é derivada individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja, se temos:
f(t) = f1(t) cdot imath + f2(t) cdot jmath + f3(t) cdot k
Então, a derivada será:
f,'(t) = f1,'(t) cdot imath + f2,'(t) cdot jmath + f3,'(t) cdot k

Passo 3

Vamos derivar cada componente da função f(t) individualmente.
  1. Componente em imath:
f1(t) = e^-t
A derivada de e^-t em relação a t é:
f1,'(t) = -e^-t
Isso porque a derivada de e^kt é k cdot e^kt, onde k é uma constante. Aqui, k = -1.
  1. Componente em jmath:
f2(t) = e^-2t
A derivada de e^-2t em relação a t é:
f2,'(t) = -2e^-2t
Novamente, usando a regra da derivada de exponenciais, com k = -2.
  1. Componente em k:
f3(t) = k
Aqui, k é uma constante vetorial, então a sua derivada é zero:
f3,'(t) = 0

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas das componentes, temos:
f,'(t) = f1,'(t) cdot imath + f2,'(t) cdot jmath + f3,'(t) cdot k
Substituindo os valores que encontramos:
f,'(t) = (-e^-t) cdot imath + (-2e^-2t) cdot jmath + 0
Simplificando:
f,'(t) = -e^-t cdot imath - 2e^-2t cdot jmath

Resposta

A derivada da função vetorial f(t) é:
f,'(t) = -e^-t cdot imath - 2e^-2t cdot jmath

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