Encontre o polinômio de Taylor T3(x), do grau 3, para a função f(x)=ln x, centrada no número a=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = \ln x $, centrado no número $ a = 1 $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente da parte que fala sobre aproximações de funções usando polinômios. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar essas derivadas no ponto $ a = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar uma função usando polinômios, baseando-se nas derivadas da função no ponto de expansão $ a $. Para o grau 3, a fórmula geral do polinômio de Taylor fica assim:
a

Passo 3

Vamos começar calculando $ f(a) $, onde $ a = 1 $:
f(a)

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) = \ln x $:
f(x) = ln x
E avaliando em $ a = 1 $:
f'(x) = 1x

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada:
f''(x) = -1x^2
E em $ a = 1 $:
a = 1

Passo 6

Agora, vamos para a terceira derivada:
f'''(x) = 2x^3
E avaliando em $ a = 1 $:
a = 1

Passo 7

Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula do polinômio de Taylor:
T3(x) = 0 + 1(x - 1) + -12(x - 1)^2 + 26(x - 1)^3

Passo 8

Vamos simplificar os coeficientes:
T3(x) = (x - 1) - 12(x - 1)^2 + 13(x - 1)^3

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = \ln x $ centrado em $ a = 1 $ é:
f(x) = ln x

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