Encontre o polinômio de Taylor
, do grau 3, para a função
, centrada no número
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = \ln x $, centrado no número $ a = 1 $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente da parte que fala sobre aproximações de funções usando polinômios. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar essas derivadas no ponto $ a = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar uma função usando polinômios, baseando-se nas derivadas da função no ponto de expansão $ a $. Para o grau 3, a fórmula geral do polinômio de Taylor fica assim:
Passo 3
Vamos começar calculando $ f(a) $, onde $ a = 1 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) = \ln x $:
E avaliando em $ a = 1 $:
Passo 5
Em seguida, a segunda derivada:
E em $ a = 1 $:
Passo 6
Agora, vamos para a terceira derivada:
E avaliando em $ a = 1 $:
Passo 7
Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula do polinômio de Taylor:
Passo 8
Vamos simplificar os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = \ln x $ centrado em $ a = 1 $ é: