Calcular a derivada das seguintes funções.
f(x)=arccos (sin x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=arccos(sin x). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada à função composta arccos(u) com u=sin x, junto com a fórmula da derivada de arccos(u).

Passo 2

Definimos
u(x)=sin x
e
v(u)=arccos(u)
Assim
f(x)=vl(u(x)r)
e pela regra da cadeia
f'(x)=v'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Sabemos que a derivada de arccos(u) é
v'(u)=-1raiz1 - u^2
e a derivada de sin x é
u'(x)=cos x

Passo 4

Substituindo em f'(x)=v'(u(x))cdot u'(x), temos
f'(x) =-1raiz1 - (sin x)^2;cos x =-cos xraiz1 - sin^2 x

Passo 5

Observando que
e .

Resposta

f'(x)=-cos xraiz1 - sin^2 x
ou, equivalentemente,
f'(x)=-cos x|cos x|(cos xneq 0)

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