Calcular a derivada das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes: a função é produto de duas funções polinomiais; não há valores numéricos específicos para a serem usados — queremos a expressão geral da derivada.
Informações relevantes: a função é produto de duas funções polinomiais; não há valores numéricos específicos para
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta): dá para usar a regra do produto diretamente ou primeiro expandir o produto e depois derivar termo a termo. Vou usar a regra do produto porque é uma ferramenta padrão e rápida para produtos, e em seguida mostro a expansão como checagem.
Regra do produto (fórmula): se e
são funções diferenciáveis, então
Regra do produto (fórmula): se
Aqui
é a primeira função do produto e
a segunda;
e
são as derivadas delas.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
Derivada de
: aplicar a regra do polinômio (regra da soma e power rule). A regra da potência diz que
. Assim,
Derivada de
:
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Agora reduzir e simplificar passo a passo. Primeiro expandir
:
Somar o outro termo
:
Passo 5
Checagem alternativa (expandir antes de derivar): expandindo o produto inicial,
Derivando termo a termo usando a regra da potência:
que coincide com o resultado anterior. Bom sinal: consistência.
Passo 6
Resumo do que foi aprendido (dicas para a prova):
- Para produto de funções, use a regra do produto:
. - Para polinômios, é frequentemente mais fácil expandir e derivar termo a termo, mas a regra do produto evita expansão desnecessária quando o produto é mais complicado.
- Cuidado com sinais e com a derivada de constantes (é zero). Força aí — prática resolve a ansiedade!