Calcular a derivada das seguintes funções:
(b) f(x)=\left(x^{2}+3 x+1\right)(x+2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)(x+2)
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes: a função é produto de duas funções polinomiais; não há valores numéricos específicos para x a serem usados — queremos a expressão geral da derivada.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta): dá para usar a regra do produto diretamente ou primeiro expandir o produto e depois derivar termo a termo. Vou usar a regra do produto porque é uma ferramenta padrão e rápida para produtos, e em seguida mostro a expansão como checagem.
Regra do produto (fórmula): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\bigl(u(x)v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) é a primeira função do produto e v(x) a segunda; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas:
u(x)=x^{2}+3x+1,\qquad v(x)=x+2.
Derivada de u: aplicar a regra do polinômio (regra da soma e power rule). A regra da potência diz que (x^{n})' = n x^{n-1}. Assim,
u'(x)=(x^{2})'+(3x)'+(1)'=2x+3+0=2x+3.
Derivada de v:
v'(x)=(x)'+(2)'=1+0=1.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=(2x+3)(x+2)+(x^{2}+3x+1)\cdot 1.
Agora reduzir e simplificar passo a passo. Primeiro expandir (2x+3)(x+2):
(2x+3)(x+2)=2x\cdot x + 2x\cdot 2 + 3\cdot x + 3\cdot 2 = 2x^{2}+4x+3x+6=2x^{2}+7x+6.
Somar o outro termo (x^{2}+3x+1):
f'(x)=\bigl(2x^{2}+7x+6\bigr)+\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)=3x^{2}+10x+7.

Passo 5

Checagem alternativa (expandir antes de derivar): expandindo o produto inicial,
f(x)=(x^{2}+3x+1)(x+2)=x^{3}+5x^{2}+7x+2.
Derivando termo a termo usando a regra da potência:
f'(x)=3x^{2}+10x+7,
que coincide com o resultado anterior. Bom sinal: consistência.

Passo 6

Resumo do que foi aprendido (dicas para a prova):
  • Para produto de funções, use a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Para polinômios, é frequentemente mais fácil expandir e derivar termo a termo, mas a regra do produto evita expansão desnecessária quando o produto é mais complicado.
  • Cuidado com sinais e com a derivada de constantes (é zero). Força aí — prática resolve a ansiedade!

Resposta

f'(x)=3x^{2}+10x+7

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