Calcular a derivada das seguintes funções:
(c) f(x)=(2+\cos (x))\left(2-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(2+\cos(x))\left(2-\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é um produto de duas funções: 2+\cos(x) e 2-\dfrac{1}{x}.
  • Há uma restrição óbvia no domínio: x\neq 0 (porque aparece \dfrac{1}{x}). Logo a derivada só pode ser calculada para x\neq 0.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicações simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Isto significa: derivada do produto = derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Derivada do cosseno: para u(x)=\cos(x),
u'(x) = -\sin(x),
ou seja, a derivada de \cos(x) é -\sin(x).
  • Regra da potência (válida também para expoentes negativos): se g(x)=x^{n} com n qualquer número real, então
g'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=-1 (pois \dfrac{1}{x}=x^{-1}), obtemos
\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a derivada de \dfrac{1}{x} é -\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=2+\cos(x),\qquad v(x)=2-\frac{1}{x}.
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
  • Para u(x)=2+\cos(x): a constante 2 some na derivada e \cos(x) vira -\sin(x). Logo
u'(x)=-\sin(x).
  • Para v(x)=2-\dfrac{1}{x}=2-x^{-1}: a constante 2 tem derivada 0 e x^{-1} tem derivada -x^{-2}; com o sinal negativo em v fica
v'(x)= -\big(-x^{-2}\big) = x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u, u', v, v':
f'(x) = \big(-\sin(x)\big)\left(2-\frac{1}{x}\right) + \big(2+\cos(x)\big)\left(\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 5

Podemos escrever a expressão de forma mais explícita, expandindo os termos para ver os componentes:
f'(x) = -2\sin(x) + \frac{\sin(x)}{x} + \frac{2+\cos(x)}{x^{2}}.
Se desejar uma única fração com denominador x^{2}, faça:
-2\sin(x)=\frac{-2x^{2}\sin(x)}{x^{2}},\qquad \frac{\sin(x)}{x}=\frac{x\sin(x)}{x^{2}},
logo
f'(x)=\frac{-2x^{2}\sin(x)+x\sin(x)+2+\cos(x)}{x^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira costuma ser mais clara em provas.

Passo 6

Observação final: a derivada está definida para x\neq 0, conforme já notado. Mantém-se tudo bem se usar a forma factorizada ou a forma com denominar único, conforme conveniência na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\sin(x)\left(2-\frac{1}{x}\right)+\frac{2+\cos(x)}{x^{2}}

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