Calcular a derivada das seguintes funções:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é um produto de duas funções:
e . - Há uma restrição óbvia no domínio:
(porque aparece ). Logo a derivada só pode ser calculada para . - O objetivo é encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicações simples):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isto significa: derivada do produto = derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes a derivada do segundo.
- Derivada do cosseno: para
,
ou seja, a derivada de
é
.
- Regra da potência (válida também para expoentes negativos): se
com qualquer número real, então
Aplicando com
(pois
), obtemos
Portanto a derivada de
é
.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
- Para
: a constante some na derivada e vira . Logo
- Para
: a constante tem derivada e tem derivada ; com o sinal negativo em fica
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Podemos escrever a expressão de forma mais explícita, expandindo os termos para ver os componentes:
Se desejar uma única fração com denominador
, faça:
logo
Ambas as formas são equivalentes; a primeira costuma ser mais clara em provas.
Passo 6
Observação final: a derivada está definida para
, conforme já notado. Mantém-se tudo bem se usar a forma factorizada ou a forma com denominar único, conforme conveniência na prova.