Calcular a derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=\left(x^{2}+2 x+8\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada:
  • Função dada: f(x)=\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)^{5}.
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Lembra rapidinho do regra básica (regra da potência) para potências simples: se y=x^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável independente;
  • n é um número real fixo;
  • \frac{d}{dx} significa "derivar em relação a x";
  • o resultado é a inclinação da função x^{n} em cada ponto.

Passo 3

No nosso caso temos uma composição: uma expressão quadrática x^{2}+2x+8 elevada à quinta potência. Para composições usamos a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\bigl(h(g(x))\bigr)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Isto quer dizer: para derivar uma função obtida ao aplicar h sobre g(x), calcula-se a derivada de h avaliada em g(x) e multiplica-se pela derivada de g(x). Intuitivamente: variação externa vezes variação interna.

Passo 4

Identificamos as funções externa e interna da composição:
  • Função externa: h(u)=u^{5}. Aqui u é uma variável auxiliar que representa o que está dentro da potência.
  • Função interna: g(x)=x^{2}+2x+8.
Agora derivamos cada uma:
  • Derivada da externa em termos de u: h'(u)=5u^{4} (pela regra da potência).
  • Derivada da interna em termos de x: g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x+8\bigr). Derivando termo a termo: \frac{d}{dx}x^{2}=2x,\qquad \frac{d}{dx}2x=2,\qquad \frac{d}{dx}8=0,logo g'(x)=2x+2.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Substituindo h' e g:
f'(x)=5\bigl(g(x)\bigr)^{4}\cdot\bigl(2x+2\bigr).
Voltando g(x)=x^{2}+2x+8, fica
f'(x)=5\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)^{4}\bigl(2x+2\bigr).

Passo 6

Podemos simplificar um pouco o fator \,2x+2 extraindo 2 em evidência:
2x+2=2(x+1).
Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=5\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)^{4}\cdot 2(x+1).
Multiplicando os coeficientes 5 e 2:
f'(x)=10(x+1)\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)^{4}.

Passo 7

Resumo final e dica de prova: a regra da cadeia foi o passo essencial — identificar a parte “por fora” ( u^5) e a parte “por dentro” ( x^2+2x+8), derivar cada uma e multiplicar. Não é necessário expandir a potência para derivar (isso seria trabalhoso); manter a forma fatorada é mais rápido e menos sujeito a erro.

Resposta

f'(x)=10(x+1)\bigl(x^{2}+2x+8\bigr)^{4}

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