Calcular a derivada das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
- Função dada:
. - O que se pede: calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Lembra rapidinho do regra básica (regra da potência) para potências simples: se
com
constante, então
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável independente; -
é um número real fixo; -
significa "derivar em relação a "; - o resultado é a inclinação da função
em cada ponto.
Passo 3
No nosso caso temos uma composição: uma expressão quadrática
elevada à quinta potência. Para composições usamos a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz:
Isto quer dizer: para derivar uma função obtida ao aplicar
sobre
, calcula-se a derivada de
avaliada em
e multiplica-se pela derivada de
. Intuitivamente: variação externa vezes variação interna.
Passo 4
Identificamos as funções externa e interna da composição:
- Função externa:
. Aqui é uma variável auxiliar que representa o que está dentro da potência. - Função interna:
.
Agora derivamos cada uma:
- Derivada da externa em termos de
: (pela regra da potência). - Derivada da interna em termos de
: . Derivando termo a termo: logo
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Voltando
, fica
Passo 6
Podemos simplificar um pouco o fator
extraindo
em evidência:
Substituindo na expressão de
:
Multiplicando os coeficientes
e
:
Passo 7
Resumo final e dica de prova: a regra da cadeia foi o passo essencial — identificar a parte “por fora” (
) e a parte “por dentro” (
), derivar cada uma e multiplicar. Não é necessário expandir a potência para derivar (isso seria trabalhoso); manter a forma fatorada é mais rápido e menos sujeito a erro.