Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{2}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão da função é f(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}.
  • Assume-se que estamos procurando o domínio real (valores reais de x para os quais f(x) está bem definida).

Passo 2

Entendendo o que limita o domínio: a função envolve uma divisão. Divisão por zero é proibida no conjunto dos números reais — não existe valor real para uma expressão do tipo \dfrac{a}{0}. Portanto, qualquer x que torne o denominador igual a zero deve ser excluído do domínio.
Observação didática rápida: o numerador igual a zero não causa problema — \dfrac{0}{b}=0 para b\neq0. O problema só ocorre se o denominador for zero.

Passo 3

Aplicando a regra anterior ao nosso denominador: devemos achar os x tais que
x^{2}-1=0.
Resolver essa equação para localizar os pontos proibidos.

Passo 4

Resolver x^{2}-1=0. Podemos fatorar:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Logo, a equação fica
(x-1)(x+1)=0,
que é satisfeita quando x-1=0 ou x+1=0. Portanto
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.
Esses dois valores deixam o denominador nulo e, por isso, devem ser excluídos do domínio.

Passo 5

Concluir o domínio: todos os reais exceto -1 e 1. Em notação de conjunto:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq 1\,\}.
Em notação em intervalos:
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Dica rápida para a prova: quando ver uma fração, verifique sempre se o denominador pode ser zero; se tiver raiz quadrada, verifique também o radicando (não pode ser negativo se for raiz real); essas duas verificações resolvem a maior parte dos problemas de domínio.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)

Exercícios relacionados