Calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - O argumento do logaritmo exige
, logo o domínio natural da função (onde faz sentido derivar) é .
Passo 2
Lembrete essencial (fórmula que vamos usar): se temos uma função composta
, então a derivada vem da regra da cadeia e da derivada do logaritmo natural. A fórmula é
Explicando devagar: a derivada de
em relação a
é
. Quando
é uma função de
(ou seja
), pela regra da cadeia você multiplica por
. Por isso aparece
.
Passo 3
Identificamos a função interna (o que está dentro do
):
Agora calculamos a derivada dessa função interna. Como
é uma função afim, sua derivada é o coeficiente de
:
Explicando: a derivada de
é sempre
, porque a variação de
por unidade de
é
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da Passo 2 com
e
:
Passo 5
Simplificamos a fração
. Fatorando o denominador:
logo
Portanto a forma mais simples da derivada é
.
Passo 6
Observação sobre domínio da derivada: como a função original exige
(para o log existir), a derivada válida é para
. Em
a função não está definida (argumento do
é zero), então não faz sentido calcular derivada ali.
Passo 7
Exemplo rápido de checagem numérica (pra você sentir que faz sentido): em
,
A aproximação linear diz que
, que dá um valor muito próximo do
real — então faz sentido.
Passo 8
Regra prática para a prova (receita de bolo): para derivar
faça
- derivada da interna:
; - aplique
; - simplifique:
.
No nosso casoe , dando .