Calcular a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln (2 x+4)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \;f(x)=\ln(2x+4)\;.
Informações dadas:
  • A função é \;f(x)=\ln(2x+4)\;.
  • O argumento do logaritmo exige \;2x+4>0\;, logo o domínio natural da função (onde faz sentido derivar) é \;x>-2\;.

Passo 2

Lembrete essencial (fórmula que vamos usar): se temos uma função composta \;f(x)=\ln(u(x))\;, então a derivada vem da regra da cadeia e da derivada do logaritmo natural. A fórmula é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando devagar: a derivada de \;\ln(t)\; em relação a \;t\; é \;1/t\;. Quando \;t\; é uma função de \;x\; (ou seja \;t=u(x)\;), pela regra da cadeia você multiplica por \;u'(x)\;. Por isso aparece \;u'(x)/u(x)\;.

Passo 3

Identificamos a função interna (o que está dentro do \ln):
u(x)=2x+4.
Agora calculamos a derivada dessa função interna. Como \;u(x)\; é uma função afim, sua derivada é o coeficiente de \;x\;:
u'(x)=2.
Explicando: a derivada de \;ax+b\; é sempre \;a\;, porque a variação de \;ax+b\; por unidade de \;x\; é \;a\;.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da Passo 2 com \;u(x)=2x+4\; e \;u'(x)=2\;:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2}{2x+4}.

Passo 5

Simplificamos a fração \;\dfrac{2}{2x+4}\;. Fatorando o denominador:
2x+4=2(x+2),
logo
\frac{2}{2x+4}=\frac{2}{2(x+2)}=\frac{1}{x+2}.
Portanto a forma mais simples da derivada é \;f'(x)=\dfrac{1}{x+2}\;.

Passo 6

Observação sobre domínio da derivada: como a função original exige \;2x+4>0\; (para o log existir), a derivada válida é para \;x>-2\;. Em x=-2 a função não está definida (argumento do \ln é zero), então não faz sentido calcular derivada ali.

Passo 7

Exemplo rápido de checagem numérica (pra você sentir que faz sentido): em x=0,
f'(0)=\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}.
A aproximação linear diz que \;f(0{,}01)\approx f(0)+f'(0)\cdot 0{,}01=\ln(4)+\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01\;, que dá um valor muito próximo do \ln(4{,}02) real — então faz sentido.

Passo 8

Regra prática para a prova (receita de bolo): para derivar \;\ln(ax+b)\; faça
  1. derivada da interna: (ax+b)'=a;
  2. aplique \;(\ln(u))' = u'/u\;;
  3. simplifique: \dfrac{a}{ax+b}=\dfrac{1}{x+b/a}.
    No nosso caso a=2 e b=4, dando \;f'(x)=\dfrac{1}{x+2}\;.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x+2}

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