Calcular a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{x+4}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Foi dada a função f(x)=e^{x+4}. A pergunta é: calcular a derivada de f, isto é obter f'(x). Informações relevantes: a função é bem definida para todo x\in\mathbb{R} (exponencial) e o expoente é a função linear x+4.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados com calma).
  1. Derivada da função exponencial básica: a derivada de e^{x} em relação a x é
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Breve ideia do porquê: pela definição de derivada,
\frac{d}{dx}e^{x}=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^{x}\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h},
e o limite \lim_{h\to0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1, logo surge e^{x}. Não precisamos provar o limite aqui inteiro, basta saber que essa propriedade é o que torna e^{x} especial.
  1. Regra da cadeia (explicada): se temos uma função composta F(x)=g(u(x)), então a derivada é
F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa: primeiro derivamos a função externa g avaliando no interno u(x), depois multiplicamos pela derivada da função interna u(x). É a receita de “derivar por fora e multiplicar pela derivada de dentro”.

Passo 3

Aplicando os conceitos à nossa função. Identificamos a composição:
f(x)=e^{x+4}=g(u(x))
onde g(u)=e^{u} (função exponencial) e u(x)=x+4 (função interna, linear).

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x). Como u(x)=x+4, usando a regra básica para derivadas de polinômios/lineares,
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+4)=1.
Explanação: a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante ( 4) é 0.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: derivada da exponencial por fora vezes derivada de dentro.
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Sabemos que g'(u)=e^{u}, então
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{x+4}\cdot 1.

Passo 6

Simplificar o resultado. Como multiplicar por 1 não muda, obtemos
f'(x)=e^{x+4}.
Comentário prático: uma outra maneira é notar que e^{x+4}=e^{4}e^{x}. Como e^{4} é constante, a derivada é e^{4}\cdot e^{x}=e^{x+4} — chega-se ao mesmo resultado.

Passo 7

Um exemplo extra rápido para fixar: se h(x)=e^{3x-5}, então pela mesma ideia u(x)=3x-5 tem u'(x)=3, logo
h'(x)=3e^{3x-5}.
Percebe a diferença: o coeficiente da parte interna aparece multiplicando.

Resposta

f'(x)=e^{x+4}

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