Calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Foi dada a função
. A pergunta é: calcular a derivada de
, isto é obter
. Informações relevantes: a função é bem definida para todo
(exponencial) e o expoente é a função linear
.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados com calma).
- Derivada da função exponencial básica: a derivada de
em relação a é
Breve ideia do porquê: pela definição de derivada,
e o limite
, logo surge
. Não precisamos provar o limite aqui inteiro, basta saber que essa propriedade é o que torna
especial.
- Regra da cadeia (explicada): se temos uma função composta
, então a derivada é
Isto significa: primeiro derivamos a função externa
avaliando no interno
, depois multiplicamos pela derivada da função interna
. É a receita de “derivar por fora e multiplicar pela derivada de dentro”.
Passo 3
Aplicando os conceitos à nossa função. Identificamos a composição:
onde
(função exponencial) e
(função interna, linear).
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
. Como
, usando a regra básica para derivadas de polinômios/lineares,
Explanação: a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia: derivada da exponencial por fora vezes derivada de dentro.
Sabemos que
, então
Passo 6
Simplificar o resultado. Como multiplicar por
não muda, obtemos
Comentário prático: uma outra maneira é notar que
. Como
é constante, a derivada é
— chega-se ao mesmo resultado.
Passo 7
Um exemplo extra rápido para fixar: se
, então pela mesma ideia
tem
, logo
Percebe a diferença: o coeficiente da parte interna aparece multiplicando.