Calcular a derivada das seguintes funções:
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se calcular
e indicar os pontos onde a derivada existe ou não.
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Vamos lembrar a regra que vamos usar (explicação didática):
- Regra da cadeia: se
, então
Isto quer dizer: derivar a função externa
avaliando-a na interna
, e multiplicar pelo crescimento da interna
.
- Regra da potência (caso simples): se
com constante, então (quando )
No nosso caso a função externa é
e a interna é
.
Passo 4
Derivar a função interna
:
Explicando: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Derivar a função externa
usando a regra da potência:
Note que essa expressão é válida para
; em
a forma
explode, o que indica possível não diferenciabilidade quando a parte interior vale zero.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e simplificando o fator
, obtemos uma forma mais limpa:
Usando novamente
, uma forma equivalente é
Passo 7
Análise da existência da derivada:
- A expressão obtida para
exige que , pois o expoente gera divisão por zero se . Assim a fórmula vale para todo com e . - Nos pontos
e temos . Próximo a esses pontos a função externa tem derivada que comporta-se como , que diverge quando . Para ver isso com mais clareza, por exemplo em calcular a razão incremental:
o que diverge em módulo. Portanto a derivada não existe (é infinita) em
e em
.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar: em
a fórmula dá
ou seja, a derivada em
é
(sem problema de divisão por zero porque
).
Resposta
Não diferenciável em
e em
.