Calcular a derivada das seguintes funções:
(j) f(x)=(x(x-2))^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \:f(x)=(x(x-2))^{1/3}\:.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=(x(x-2))^{1/3}.
  • Precisa-se calcular f'(x) e indicar os pontos onde a derivada existe ou não.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão dentro da raiz:
x(x-2)=x^2-2x.
Portanto podemos reescrever
f(x)=\bigl(x^2-2x\bigr)^{1/3}.

Passo 3

Vamos lembrar a regra que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Isto quer dizer: derivar a função externa g avaliando-a na interna h(x), e multiplicar pelo crescimento da interna h'(x).
  • Regra da potência (caso simples): se g(u)=u^r com r constante, então (quando u\neq0)
g'(u)=r\,u^{r-1}.
No nosso caso a função externa é g(u)=u^{1/3} e a interna é h(x)=x^2-2x.

Passo 4

Derivar a função interna h(x):
h(x)=x^2-2x \quad\Rightarrow\quad h'(x)=2x-2.
Explicando: a derivada de x^2 é 2x e a derivada de -2x é -2.

Passo 5

Derivar a função externa g(u)=u^{1/3} usando a regra da potência:
g'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
Note que essa expressão é válida para u\neq0; em u=0 a forma u^{-2/3} explode, o que indica possível não diferenciabilidade quando a parte interior vale zero.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{3}\bigl(h(x)\bigr)^{-2/3}\cdot(2x-2).
Substituindo h(x)=x^2-2x e simplificando o fator 2x-2=2(x-1), obtemos uma forma mais limpa:
f'(x)=\frac{2(x-1)}{3}\bigl(x^2-2x\bigr)^{-2/3}.
Usando novamente x^2-2x=x(x-2), uma forma equivalente é
f'(x)=\frac{2(x-1)}{3\bigl(x(x-2)\bigr)^{2/3}}.

Passo 7

Análise da existência da derivada:
  • A expressão obtida para f'(x) exige que x(x-2)\neq0, pois o expoente -2/3 gera divisão por zero se x(x-2)=0. Assim a fórmula vale para todo x com \:x\neq0 e \:x\neq2.
  • Nos pontos x=0 e x=2 temos h(x)=0. Próximo a esses pontos a função externa u^{1/3} tem derivada que comporta-se como u^{-2/3}, que diverge quando u\to0. Para ver isso com mais clareza, por exemplo em x=0 calcular a razão incremental:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\bigl(h(h-2)\bigr)^{1/3}}{h}\sim C\,h^{-2/3}\quad(h\to0),
o que diverge em módulo. Portanto a derivada não existe (é infinita) em x=0 e em x=2.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar: em x=1 a fórmula dá
f'(1)=\frac{2(1-1)}{3\bigl(1\cdot(-1)\bigr)^{2/3}}=0,
ou seja, a derivada em x=1 é 0 (sem problema de divisão por zero porque 1\cdot(-1)=-1\neq0).

Resposta

f'(x)=\frac{2(x-1)}{3\bigl(x(x-2)\bigr)^{2/3}},\quad x\neq0,\;x\neq2
Não diferenciável em x=0 e em x=2.

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