Verifique se a função
é derivável em
:
(d)
;
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é derivável em
, sendo
Informações dadas:
- A função está definida para todo
por . - O ponto em que se quer testar a derivabilidade é
.
O que precisamos responder: existe
finito? Se sim, qual é; se não, explicar por quê.
Passo 2
Lembrete (definição e ideia): dizer que
é derivável em
significa que o limite
existe e é finito. Esse limite pode ser investigado pelas duas direções (laterais):
- derivada à direita em
: ; - derivada à esquerda em
: .
A função é derivável emexatamente quando esses dois limites existem e são iguais.
Também é bom lembrar: derivabilidade implica continuidade. Então é natural primeiro verificar
e a continuidade em
.
Passo 3
Calcular
e verificar continuidade em
.
Para a continuidade, calcular
. Como
quando
,
Logo
é contínua em
. Continua ter limite; isso é necessário (mas não suficiente) para derivabilidade.
Passo 4
Calcular a derivada pelo lado direito (usar
). Para
tem-se
, então
. O quociente incremental é
Simplificando passo a passo:
Agora o limite à direita:
Passo 5
Calcular a derivada pelo lado esquerdo (usar
). Para
tem-se
, então
. O quociente incremental é
Simplificando passo a passo:
Agora o limite à esquerda:
Passo 6
Comparando as duas derivadas laterais obtidas:
Como os limites laterais não coincidem, o limite
não existe. Portanto
não é derivável em
.
Interpretação intuitiva: a função é contínua em
mas tem “mudança de inclinação” brusca em
— a inclinação à direita é
e à esquerda é
— por isso há uma espécie de “ponta” (canto) em
que impede a existência da derivada.
Passo 7
Comentário extra (útil para a prova): para
pode-se escrever
e então
. Para
tem-se
e então
. Essas expressões confirmam os comportamentos laterais quando
: os limites de
quando
e
são
e
, respectivamente, compatíveis com os quocientes incrementais calculados.
Resposta
A função não é derivável em
.