Verifique se a função f é derivável em a=0 :
(d) f(x)=\frac{1}{1+|x|};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f é derivável em a=0, sendo
f(x)=\frac{1}{1+|x|}.
Informações dadas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} por f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}.
  • O ponto em que se quer testar a derivabilidade é a=0.
O que precisamos responder: existe f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} finito? Se sim, qual é; se não, explicar por quê.

Passo 2

Lembrete (definição e ideia): dizer que f é derivável em a significa que o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe e é finito. Esse limite pode ser investigado pelas duas direções (laterais):
  • derivada à direita em a: \displaystyle f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h};
  • derivada à esquerda em a: \displaystyle f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
    A função é derivável em a exatamente quando esses dois limites existem e são iguais.
Também é bom lembrar: derivabilidade implica continuidade. Então é natural primeiro verificar f(0) e a continuidade em 0.

Passo 3

Calcular f(0) e verificar continuidade em 0.
f(0)=\frac{1}{1+|0|}=\frac{1}{1+0}=1.
Para a continuidade, calcular \lim_{x\to0}f(x). Como |x|\to0 quando x\to0,
\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{1}{1+|x|}=\frac{1}{1+0}=1=f(0).
Logo f é contínua em 0. Continua ter limite; isso é necessário (mas não suficiente) para derivabilidade.

Passo 4

Calcular a derivada pelo lado direito (usar h>0). Para h>0 tem-se |h|=h, então f(h)=\dfrac{1}{1+h}. O quociente incremental é
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\dfrac{1}{1+h}-1}{h}.
Simplificando passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{1+h}-1}{h}=\frac{\dfrac{1-(1+h)}{1+h}}{h}=\frac{\dfrac{-h}{1+h}}{h}=\frac{-h}{1+h}\cdot\frac{1}{h}=-\frac{1}{1+h}.
Agora o limite à direita:
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\left(-\frac{1}{1+h}\right)=-1.

Passo 5

Calcular a derivada pelo lado esquerdo (usar h<0). Para h<0 tem-se |h|=-h, então f(h)=\dfrac{1}{1+|h|}=\dfrac{1}{1-h}. O quociente incremental é
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\dfrac{1}{1-h}-1}{h}.
Simplificando passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{1-h}-1}{h}=\frac{\dfrac{1-(1-h)}{1-h}}{h}=\frac{\dfrac{h}{1-h}}{h}=\frac{h}{1-h}\cdot\frac{1}{h}=\frac{1}{1-h}.
Agora o limite à esquerda:
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{1}{1-h}=1.

Passo 6

Comparando as duas derivadas laterais obtidas:
f'_+(0)=-1,\qquad f'_-(0)=1.
Como os limites laterais não coincidem, o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} não existe. Portanto f não é derivável em 0.
Interpretação intuitiva: a função é contínua em 0 mas tem “mudança de inclinação” brusca em 0 — a inclinação à direita é -1 e à esquerda é +1 — por isso há uma espécie de “ponta” (canto) em x=0 que impede a existência da derivada.

Passo 7

Comentário extra (útil para a prova): para x>0 pode-se escrever f(x)=\dfrac{1}{1+x} e então f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}. Para x<0 tem-se f(x)=\dfrac{1}{1-x} e então f'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}. Essas expressões confirmam os comportamentos laterais quando x\to0^\pm: os limites de f'(x) quando x\to0^+ e x\to0^- são -1 e +1, respectivamente, compatíveis com os quocientes incrementais calculados.

Resposta

A função não é derivável em a=0.

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