Use o teorema de Green para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
\mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos y, x \operatorname{sen} y\rangle
C é o círculo (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientado no sentido horário

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com
\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle=\langle y-\cos y,\; x\sin y\rangle,
onde C é o círculo dado por (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientado no sentido horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva C é um círculo centrado em (3,-4) com raio 2 (pois 4=2^{2}).
  • A orientação informada é horário (ou seja, sentido horário, o que é a orientação negativa em relação à orientação positiva usada no Teorema de Green).
  • Quer-se a integral de linha de \mathbf{F} ao longo de C.

Passo 2

Apresentar o Teorema de Green e quando aplicá‑lo. O Teorema de Green diz o seguinte (forma para campo planar):
\oint_{C_{\text{pos}}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde C_{\text{pos}} é a fronteira de D percorrida com orientação positiva (contra‑horário), e P e Q são as componentes de \mathbf{F}. Importante:
  • Se a curva dada C estiver orientada no sentido horário (orientação negativa), então
\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\iint_{D}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicação breve: \dfrac{\partial Q}{\partial x} mede como a componente tangencial horizontal de \mathbf{F} varia com x, e \dfrac{\partial P}{\partial y} mede a variação vertical; a diferença integra o “rotacional” em 2D sobre a região D.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} explicitamente. Aqui
P(x,y)=y-\cos y,\qquad Q(x,y)=x\sin y.
Derivadas parciais:
\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(x\sin y\big)=\sin y,
pois \sin y comporta‑se como constante quando derivamos em relação a x.
\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(y-\cos y\big)=1+\sin y,
porque \dfrac{d}{dy}(y)=1 e \dfrac{d}{dy}(-\cos y)=\sin y.
Agora a diferença que entra na fórmula de Green:
\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=\sin y-(1+\sin y)=-1.
Observação: o integrando é a constante -1, o que simplifica muito a integral dupla.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Green à região D interior ao círculo. A área de D é a área do disco de raio 2:
\text{Area}(D)=\pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.
Se a orientação fosse positiva (contra‑horário), teríamos
\oint_{C_{\text{pos}}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}(-1)\,dA=-1\cdot \text{Area}(D)=-4\pi.
Mas o enunciado dá C orientado no sentido horário. Como explicado no Passo 2, a integral sobre C (orientada horário) é o negativo da integral sobre C_{\text{pos}}. Assim
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\oint_{C_{\text{pos}}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-(-4\pi)=4\pi.

Passo 5

Interpretação final e conferência rápida: o integrando -1 multiplicado pela área 4\pi deu -4\pi para a orientação positiva; inverter a orientação (já que C é horário) muda o sinal, resultando em 4\pi. Então o valor pedido é 4\pi.

Resposta

4\pi

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