Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
\mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos y, x \operatorname{sen} y\rangle
é o círculo
orientado no sentido horário
\mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos y, x \operatorname{sen} y\rangle
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
com
onde
é o círculo dado por
orientado no sentido horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
é um círculo centrado em com raio (pois ). - A orientação informada é horário (ou seja, sentido horário, o que é a orientação negativa em relação à orientação positiva usada no Teorema de Green).
- Quer-se a integral de linha de
ao longo de .
Passo 2
Apresentar o Teorema de Green e quando aplicá‑lo. O Teorema de Green diz o seguinte (forma para campo planar):
onde
é a fronteira de
percorrida com orientação positiva (contra‑horário), e
e
são as componentes de
. Importante:
- Se a curva dada
estiver orientada no sentido horário (orientação negativa), então
Explicação breve:
mede como a componente tangencial horizontal de
varia com
, e
mede a variação vertical; a diferença integra o “rotacional” em 2D sobre a região
.
Passo 3
Calcular
e
explicitamente. Aqui
Derivadas parciais:
pois
comporta‑se como constante quando derivamos em relação a
.
porque
e
.
Agora a diferença que entra na fórmula de Green:
Agora a diferença que entra na fórmula de Green:
Observação: o integrando é a constante
, o que simplifica muito a integral dupla.
Passo 4
Aplicar o Teorema de Green à região
interior ao círculo. A área de
é a área do disco de raio
:
Se a orientação fosse positiva (contra‑horário), teríamos
Mas o enunciado dá
orientado no sentido horário. Como explicado no Passo 2, a integral sobre
(orientada horário) é o negativo da integral sobre
. Assim
Passo 5
Interpretação final e conferência rápida: o integrando
multiplicado pela área
deu
para a orientação positiva; inverter a orientação (já que
é horário) muda o sinal, resultando em
. Então o valor pedido é
.