Verifique se a função f é derivável em a=0 :
(a) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \cos \frac{1}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{array}\right.;
A pergunta é: verificar se f é derivável em a=0.
Informações relevantes fornecidas:
A definição da função para x\neq 0 e o valor em x=0.
É pedido apenas verificar derivabilidade no ponto 0 (não nos outros pontos).]
Passo 2
Lembrete do que significa ser derivável em 0: a função f é derivável em 0 se existir o limite
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Aqui a variável h representa um incremento pequeno (diferença entre um ponto x e 0). Na prática, para checar derivabilidade no ponto 0 usamos essa fórmula e testamos se o limite existe e é finito.
Passo 3
Vamos escrever o quociente diferencial para a nossa função. Para h\neq 0 vale
Sabemos que \lim_{h\to 0}|h|=0. Pelo Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze), como \left|h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)\right| fica preso entre -|h| e |h| e esses extremos tendem a 0, o limite desejado é
\lim_{h\to 0} h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)=0.
Passo 5
Como o limite do quociente diferencial existe e é igual a 0, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0.
Passo 6
Observações didáticas e dicas para prova:
A técnica usada é a mais direta para esse tipo de função oscilante multiplicada por uma potência de x: simplificar o quociente e usar que \cos é limitada por [-1,1], depois aplicar o Squeeze.
Não tente aplicar regra do produto diretamente em 0, porque \cos(1/x) não está definida em 0; o caminho correto é sempre a definição de derivada no ponto.
Curiosidade útil: para x\neq 0 pode-se derivar por regra do produto e cadeia e obter
Esse f'(x) não tem limite quando x\to 0 (por causa do termo \sin(1/x) que oscila), então embora f seja derivável em 0, a derivada não é contínua em 0. É um bom exemplo para lembrar que derivável não implica derivada contínua.