Verifique se a função f é derivável em a=0 :
(a) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \cos \frac{1}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\begin{cases} x^{2}\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\[6pt] 0, & x=0. \end{cases}
A pergunta é: verificar se f é derivável em a=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição da função para x\neq 0 e o valor em x=0.
  • É pedido apenas verificar derivabilidade no ponto 0 (não nos outros pontos).]

Passo 2

Lembrete do que significa ser derivável em 0: a função f é derivável em 0 se existir o limite
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Aqui a variável h representa um incremento pequeno (diferença entre um ponto x e 0). Na prática, para checar derivabilidade no ponto 0 usamos essa fórmula e testamos se o limite existe e é finito.

Passo 3

Vamos escrever o quociente diferencial para a nossa função. Para h\neq 0 vale
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2}\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)-0}{h}=h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right).
Portanto a derivada em 0, se existir, é
f'(0)=\lim_{h\to 0} h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right).

Passo 4

Agora avalio o limite usando uma ideia simples: a função \cos é limitada. Ou seja,
-1\le \cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)\le 1\quad\text{para todo }h\neq 0.
Multiplicando por h (que pode ser positivo ou negativo) obtemos a desigualdade em valor absoluto
\left|h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)\right|\le |h|.
Sabemos que \lim_{h\to 0}|h|=0. Pelo Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze), como \left|h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)\right| fica preso entre -|h| e |h| e esses extremos tendem a 0, o limite desejado é
\lim_{h\to 0} h\cos\!\left(\dfrac{1}{h}\right)=0.

Passo 5

Como o limite do quociente diferencial existe e é igual a 0, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0.

Passo 6

Observações didáticas e dicas para prova:
  • A técnica usada é a mais direta para esse tipo de função oscilante multiplicada por uma potência de x: simplificar o quociente e usar que \cos é limitada por [-1,1], depois aplicar o Squeeze.
  • Não tente aplicar regra do produto diretamente em 0, porque \cos(1/x) não está definida em 0; o caminho correto é sempre a definição de derivada no ponto.
  • Curiosidade útil: para x\neq 0 pode-se derivar por regra do produto e cadeia e obter
f'(x)=\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)+2x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\quad (x\neq 0).
Esse f'(x) não tem limite quando x\to 0 (por causa do termo \sin(1/x) que oscila), então embora f seja derivável em 0, a derivada não é contínua em 0. É um bom exemplo para lembrar que derivável não implica derivada contínua.

Resposta

f é derivável em 0 e f'(0)=0

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