Calcular a derivada das seguintes funções: r(w)=integral0^w^2 13+t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ r(w) = \int_{0}{w{2}} \frac{1}{3 + t^{3}} , dt $. A gente vai trabalhar com derivadas de funções definidas por integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1). Esse teorema diz que se temos uma função definida por uma integral como $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt $, então a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é simplesmente $ f(x) $.
No nosso caso, a função tem um limite superior que não é apenas $ w $, mas $ w^{2} $. Por isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivar isso.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Se $ r(w) = \int_{0}{w{2}} \frac{1}{3 + t^{3}} , dt $, então a derivada $ r’(w) $ é:
r(w) = integral0^w^2 13 + t^3 , dt
Aqui, primeiro derivamos a função dentro da integral em relação ao limite superior $ w^{2} $, que nos dá $ \frac{1}{3 + (w{2}){3}} $, e depois multiplicamos pela derivada do limite superior em relação a $ w $, que é $ 2w $.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
r'(w) = 13 + w^6 cdot 2w = 2w3 + w^6

Resposta

A derivada da função é $ r’(w) = \frac{2w}{3 + w^{6}} $.

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