Calcular: integral1^3 x^2 raizx-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^3 x^2raizx-1,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos uma função composta envolvendo raizx-1. Vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x - 1, logo x = u + 1 e dx = du. Os limites mudam de: x=1to u=0 e x=3to u=2. A integral torna-se

Passo 3

Expandimos o integrando:
(u+1)^2,u^1/2 = (u^2 + 2u + 1),u^1/2 = u^5/2 + 2u^3/2 + u^1/2

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral u^5/2,du = 27u^7/2, integral 2u^3/2,du = 45u^5/2, integral u^1/2,du = 23u^3/2

Passo 5

Portanto a primitiva é
F(u)=27u^7/2+45u^5/2+23u^3/2

Passo 6

Avaliamo-la nos limites de 0 a 2: note que 2^1/2=raiz2, então
$$2{7/2}=8\sqrt{2},\quad2{5/2}=4\sqrt{2},\quad2^{3/2}=2\sqrt{2}.
$$

Passo 7

Substituindo em F(2)-F(0):
F(2)=27cdot8raiz2+45cdot4raiz2+23cdot2raiz2 =raiz2l(167+165+43r) =raiz2cdot716105

Passo 8

Como F(0)=0, concluímos que o valor da integral é 716raiz2105.

Resposta

716raiz2105

Exercícios relacionados