Calcular: integral-2^2 cos ^3 x d x

Passo 1

O exercício pede calcular integral-2^2cos^3 x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, especialmente potências de cosseno, e vamos precisar usar a paridade da função e substituição para reduzir a potência.

Passo 2

Note que cos^3 x é uma função par, pois cos(-x)=cos x implica cos^3(-x)=cos^3 x. Para funções pares vale integral-a^af(x),dx = 2integral0^af(x),dx. Assim, conseguimos simplificar a integral original em: integral-2^2cos^3 x,dx = 2integral0^2cos^3 x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^2cos^3 x,dx, usamos a identidade de redução de potência: cos^3 x = cos x,(1-sin^2 x)Isso permite separar a integral. Fazendo a substituição u=sin x, temos du=cos x,dx. Logo,
integralcos^3 x,dx = integralcos x,dx - integralcos x,sin^2 x,dx = integral du - integral u^2,du

Passo 4

Integrando as duas partes, obtemos a primitiva
sin x - sin^3 x3 + C

Passo 5

Agora avaliamos essa primitiva de 0 a 2:
(sin x - sin^3 x3)|0^2 = sin 2 - sin^3 23

Passo 6

Por fim, multiplicamos por 2 conforme o passo 2:
integral-2^2cos^3 x,dx = 2l(sin 2 - sin^3 23r)

Resposta

2l(sin 2 - tfracsin^3 23r)

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