Calcule: integral0^pi / 2 cos x(1+sin x)^8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi / 2 cos x(1+sin x)^8 ,dx
Esse é um problema de integração usando substituição simples, pois temos cos x,dx e uma função de sin x.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição
u = 1 + sin x,
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du = cos x,dx
Com isso, a integral original em termos de u fica mais fácil de resolver.

Passo 3

Precisamos trocar os limites de integração. Quando x=0, temos
u = 1 + sin0 = 1
Quando x=pi/2, temos
nu = 1 + sin(pi/2) = 2
Então a integral passa a ser
integral1^2 u^-8 ,du

Passo 4

Agora integramos u^-8. Sabemos que
integral u^-8 ,du = u^-7-7 + C
Então, aplicando isso na integral definida, obtemos

Passo 5

Aplicando os limites de 1 a 2:
integral1^2 u^-8 ,du = l[u^-7-7r]1^2 = 2^-7 - 1^-7-7
Calculando:
2^-7 = 1128, 1^-7 = 1,
então
tfrac1128 - 1-7 = -tfrac127128-7 = 127896

Resposta

tfrac127896

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