Calcular a derivada de: y=(9 x^-3-5 x^2+4 x^-1)^-2

Passo 1

A questão pede para derivar y = (9x^{-3} - 5x^2 + 4x{-1}){-2}. O conteúdo aqui é função composta e a regra da potência (power rule) junto com a regra da cadeia (chain rule). Vamos precisar primeiro identificar a parte interna e depois aplicá-las.

Passo 2

Definimos a parte interna como
u(x) = 9x^-3 - 5x^2 + 4x^-1
Agora, derivamos cada termo usando a regra de potência:
  • Derivada de 9x^{-3} é 9·(−3)x^{-4} = −27x^{-4}.
  • Derivada de −5x^2 é −5·2x = −10x.
  • Derivada de 4x^{-1} é 4·(−1)x^{-2} = −4x^{-2}.
    Logo, a derivada da interna é
u'(x) = -27x^-4 - 10x - 4x^-2

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para y = [ν(x)]^{-2}. A derivada fica
y' = -2igl( u(x)igr)^-3 imes u'(x) 

Passo 4

Substituindo ν(x) e ν’(x) em y’ e simplificando o sinal (pois ν’(x) é negativo), obtemos
y' = 2igl(27x^-4 + 10x + 4x^-2igr)igl(9x^-3 - 5x^2 + 4x^-1igr)^-3 

Resposta

y' = 2l(27x^-4 + 10x + 4x^-2r)l(9x^-3 - 5x^2 + 4x^-1r)^3

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