Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de
ss^2-2 s+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função ss^2-2 s+5 usando o método de completar o quadrado. Isso está relacionado ao estudo de transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais. Vamos precisar lembrar como completar o quadrado e as fórmulas básicas da transformada de Laplace para funções que envolvem exponenciais e senos ou cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador s^2 - 2s + 5 completando o quadrado. Para completar o quadrado, queremos expressar s^2 - 2s + 5 na forma (s - a)^2 + b.

Passo 3

Observando s^2 - 2s + 5, identificamos que o coeficiente de s é -2. Metade desse valor é -1 e ao quadrado é 1. Então, adicionamos e subtraímos 1:
s^2 - 2s + 1 + 4 = (s - 1)^2 + 4

Passo 4

Agora, reescrevemos a função original com o denominador completado:
ss^2 - 2s + 5 = s(s - 1)^2 + 4

Passo 5

Para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace, fazemos uma mudança de variável: vamos substituir s por s + a, onde a = 1. Assim, temos:
s(s - 1)^2 + 4 = (s - 1) + 1(s - 1)^2 + 2^2 = s - 1(s - 1)^2 + 2^2 + 1(s - 1)^2 + 2^2

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da transformada de Laplace para funções da forma s - a(s - a)^2 + b^2 e b(s - a)^2 + b^2, que correspondem a e^at cos(bt) e e^at sin(bt), respectivamente.
No nosso caso, a = 1 e b = 2.

Passo 7

Aplicando as fórmulas mencionadas:
L^-1s - 1(s - 1)^2 + 2^2 = e^t cos(2t)
L^-11(s - 1)^2 + 2^2 = 12 e^t sin(2t)

Passo 8

Juntando as duas partes, a transformada inversa completa é:
L^-1ss^2-2 s+5 = e^t cos(2t) + 12 e^t sin(2t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace de ss^2-2 s+5 é:
e^t cos(2t) + 12 e^t sin(2t)

Exercícios relacionados