Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
usando o método de completar o quadrado. Isso está relacionado ao estudo de transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais. Vamos precisar lembrar como completar o quadrado e as fórmulas básicas da transformada de Laplace para funções que envolvem exponenciais e senos ou cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
completando o quadrado. Para completar o quadrado, queremos expressar
na forma
.
Passo 3
Observando
, identificamos que o coeficiente de
é
. Metade desse valor é
e ao quadrado é
. Então, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Agora, reescrevemos a função original com o denominador completado:
Passo 5
Para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace, fazemos uma mudança de variável: vamos substituir
por
, onde
. Assim, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da transformada de Laplace para funções da forma
e
, que correspondem a
e
, respectivamente.
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Aplicando as fórmulas mencionadas:
Passo 8
Juntando as duas partes, a transformada inversa completa é:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: