Calcule as derivadas f^prime(x) nos pontos indicados: f(x)=(5 x^4+x^3-2 xx^3), f^prime(1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = 5x^4 + x^3 - 2xx^3 e depois avaliar essa derivada em x = 1. O conteúdo principal é derivada de funções potência e simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a função dividindo cada termo do numerador por x³. Assim: f(x) = 5x^4-3 + x^3-3 - 2x^1-3 = 5x + 1 - 2x^-2.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência: se g(x) = x^n, então g’(x) = n x^{n-1}. Derivando cada termo de f(x):
f’(x) = derivada de 5x + derivada de 1 + derivada de -2x^-2.
Usando power rule, obtemos f’(x) = 5 + 0 + (-2)(-2)x^-3 = 5 + 4x^-3.

Passo 4

Finalmente, avaliamos em x = 1: f’(1) = 5 + 4 cdot 1^-3 = 5 + 4 = 9.

Resposta

9

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