1. Calcular a derivada de y(x)=-ln (x raizx+1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y(x)=-lnl(xraizx+1r). Vamos usar regras de logaritmo para simplificar e depois aplicar a derivada de ln.

Passo 2

Usamos ln(ab)=ln a+ln b e ln(u^k)=kln u para reescrever:
lnl(xraizx+1r)=ln x+tfrac12ln(x+1)
Como y=-lnl(xraizx+1r), fica
y=-ln x-tfrac12ln(x+1)

Passo 3

Aplicando a regra ddxln u=u'u termo a termo:
y'=-ddxln x-12ddxln(x+1) =-1x-12(x+1)

Passo 4

Para simplificar em uma única fração:
y'=-2(x+1)+x2x(x+1) =-3x+22x(x+1)

Resposta

y'=-3x+22x(x+1)

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