Calcular as derivadas pela definição
f(x)=x^{3}, x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^3 no ponto x0=-1 usando a definição de derivada, ou seja, o limite do quociente de diferença.

Passo 2

A definição de derivada de f em x0 é
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h

Passo 3

Substituindo f(x)=x^3 e x0=-1:
f(-1+h)=(-1+h)^3 = -1 + 3h - 3h^2 + h^3,
f(-1)=(-1)^3 = -1
Logo o numerador fica
f(-1+h) - f(-1) = l(-1 + 3h - 3h^2 + h^3r) - (-1) = 3h - 3h^2 + h^3,
e o quociente é
f(-1+h)-f(-1)h = 3h - 3h^2 + h^3h

Passo 4

Fatorando h e simplificando:
3h - 3h^2 + h^3h = 3 - 3h + h^2
Tomando o limite h to 0, temos
f'(-1) = limh to 0 l(3 - 3h + h^2r) = 3

Resposta

f'(-1)=3.

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