Construa o gráfico das funções definidas em R.
f(x)=ccx^2-4 x+3, & se x >= 1 x-1, & se x<1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de uma função por partes em R, ou seja, de uma função definida por \r
f(x)= x-1, & x<1, x^2-4x+3, & x>=1 \r
O conteúdo é “função por partes” e vamos precisar traçar separadamente o ramo linear e o ramo quadrático, identificando pontos importantes (interceptos, vértice, pontos de junção) e decidir onde colocar círculos abertos ou fechados.

Passo 2

Analisando o ramo para x<1: \r
É a reta
y = x - 1,
com coeficiente angular 1 e intercepto em y(0)= -1.
– Quando xto1^-, o valor da reta tende a
1-1 = 0,
mas como esse ramo vale apenas para x<1, no ponto (1,0) teremos um círculo aberto. \r
Alguns pontos de referência:
,(0,-1), ,(1^-,0) (aberto), e à esquerda segue indefinidamente.

Passo 3

Analisando o ramo para x>=1: \r
É a parábola
y = x^2 - 4x + 3
Podemos fatorar
y=(x-1)(x-3),
mostrando raízes em x=1 e x=3. Também escrevemos em forma de vértice:
y = (x-2)^2 - 1,
cujo vértice é (2,-1). Em x=1 temos
y(1) = 1 - 4 + 3 = 0,
e como esse ramo inclui x=1, no ponto (1,0) colocamos um círculo fechado. Outros pontos de referência: (3,0) e o vértice (2,-1).

Passo 4

Unindo os dois ramos, o gráfico fica assim: \r
  • Para x<1, a reta y=x-1 até, mas não incluindo, o ponto (1,0). \r
  • Para x>=1, a parábola y=x^2-4x+3 a partir de (1,0) (fechado), passando por (2,-1) e (3,0). \r
    Observe que limxto1^-f(x)=0 e f(1)=0, logo a função é contínua em x=1, mas desenhamos círculos aberto/fechado para marcar a definição por partes.

Resposta

O gráfico de f é:\r
\r
  1. A reta y=x-1 para x<1, com círculo aberto em (1,0). \r
  2. A parábola y=(x-2)^2-1 para x>=1, cujo vértice é (2,-1) e que intercepta o eixo x em (1,0) (círculo fechado) e (3,0).

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