Para cada exercício abaixo, use o vetor aceleração a(t) e as condições iniciais fornecidas para determinar o vetor r(t) em t=2.
a(t)=e^t i-8 k, v(0)=2 i+3 j+k, r(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a aceleração
a(t)=e^t,i-8,k
e pede o vetor posição r(t) em t=2, sabendo que
v(0)=2,i+3,j+k e r(0)=0.
O conteúdo é a relação
a(t)=dvdt, v(t)=drdt,
ou seja, vamos integrar a(t) para achar v(t) e depois integrar v(t) para obter r(t), usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integrando componente a componente para obter v(t):
vx(t)=integral e^t,dt + C1 = e^t+C1,
vy(t)=integral 0,dt + C2 = C2,
vz(t)=integral (-8),dt + C3 = -8t + C3
Aplicando v(0)=(2,3,1):
vx(0)=1+C1=2 implies C1=1, vy(0)=C2=3, vz(0)=C3=1
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v(t)=l(e^t+1r)i + 3,j + l(1-8tr)k

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter r(t):
rx(t)=integrall(e^t+1r)dt + A = e^t+t + A,
ry(t)=integral 3,dt + B = 3t + B,
rz(t)=integrall(1-8tr)dt + D = t -4t^2 + D
Usando r(0)=(0,0,0):
rx(0)=1+0+A=0implies A=-1, ry(0)=B=0, rz(0)=D=0
Então
r(t)=l(e^t+t-1r)i + 3t,j + l(t-4t^2r)k

Passo 4

Basta avaliar em t=2:
rx(2)=e^2+2-1=e^2+1, ry(2)=3cdot2=6, rz(2)=2-4cdot4=2-16=-14

Resposta

r(2)=l(e^2+1,;6,;-14r)

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