H. 152 Calcular o valor da derivada da função f(x)=\frac{1}{x^{2}}+e^{-x}+\operatorname{sec} ^{2} x quando x_{0}=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{x^{2}}+e^{-x}+\operatorname{sec}^{2}x
no ponto x_{0}=\frac{\pi}{4}.
O conteúdo envolvido é regra do poder para \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}, regra da cadeia para e^{-x} e derivada de funções trigonométricas para \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Calculamos f'(x) termo a termo:
  1. Para x^{-2}, usando a regra do poder,
\frac{d}{dx}x^{-2}=-2\,x^{-3}.
  1. Para e^{-x}, usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
  1. Para \operatorname{sec}^{2}x, note que é (\operatorname{sec} x)^{2}. Pela regra da cadeia e sabendo \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^{2}x =2\,\operatorname{sec} x\;\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x =2\,\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x) =2\,\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
Somando tudo,
f'(x)=-2\,x^{-3}-e^{-x}+2\,\operatorname{sec}^{2}x\tan x.

Passo 3

Agora avaliamos em x_{0}=\frac{\pi}{4}:
  1. -2\,x^{-3} vira
-2\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^{-3} =-2\cdot\frac{4^{3}}{\pi^{3}} =-\frac{128}{\pi^{3}}.
  1. -e^{-x} vira -e^{-\pi/4}.
  2. 2\,\operatorname{sec}^{2}x\tan x em x=\frac{\pi}{4}:
\operatorname{sec}\frac{\pi}{4}=\sqrt{2},\quad \operatorname{sec}^{2}\frac{\pi}{4}=2,\quad \tan\frac{\pi}{4}=1
logo
2\cdot 2\cdot 1=4.

Resposta

f'\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) =-\frac{128}{\pi^{3}}-e^{-\pi/4}+4.

Exercícios relacionados