Calcular as derivadas pela definição:
H. 120 f(x)=x^{3}, \quad x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado diz que f(x)=x^3 e pede para calcular a derivada de f no ponto x_0=-1 usando a definição de derivada. Vamos usar o limite do quociente de diferenças.

Passo 2

A definição de derivada no ponto x_0 é
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Aqui f(x_0)=f(-1)=(-1)^3=-1.

Passo 3

Calculemos f(x_0+h)=(-1+h)^3. Expandindo:
(-1+h)^3=-1+3h-3h^2+h^3.
Logo, o numerador do quociente de diferenças é
f(-1+h)-f(-1)=\bigl(-1+3h-3h^2+h^3\bigr)-(-1) =3h-3h^2+h^3.

Passo 4

Dividindo por h e tomando o limite:
\frac{3h-3h^2+h^3}{h}=3-3h+h^2, \quad \lim_{h\to0}(3-3h+h^2)=3.

Resposta

A derivada de f(x)=x^3 em x_0=-1 vale f'(-1)=3.

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