Exercício 2 - Calcule o volume do conjunto D em cada item:
D=\left\{(x, y, z)\right. em \left.R^{3} ;\left(x^{\wedge} 2\right) /\left(a^{\wedge} 2\right)+\left(y^{\wedge} 2\right) /\left(b^{\wedge} 2\right)+\left(z^{\wedge} 2\right) /\left(c^{\wedge} 2\right)<=1\right\}, com a, b, c em R positivos

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1 \bigr\},
com a,b,c>0. O conteúdo é cálculo de volume em \mathbb{R}^3 usando mudança de variáveis e Jacobiano. Vamos levar essa elipsoide na esfera unidade.

Passo 2

Faça a transformação
x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w.
Então o domínio D passa no domínio
U = \{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3 \mid u^2 + v^2 + w^2 \le 1\},
que é a bola unidade. O determinante do Jacobiano dessa mudança é
\det J = \begin{vmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\\ \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & 0\\\\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} = a\,b\,c.

Passo 3

O volume de D é dado por
\int_{D} dV = \int_{U} \bigl|\det J\bigr|\;du\,dv\,dw = a\,b\,c \int_{U} du\,dv\,dw = a\,b\,c\;\mathrm{Vol}(U).

Passo 4

Sabemos que o volume da bola unidade em \mathbb{R}^3 é
\mathrm{Vol}(U) = \frac{4\pi}{3}.
Logo
\mathrm{Vol}(D) = a\,b\,c \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi\,a\,b\,c}{3}.

Resposta

\mathrm{Vol}(D) = \frac{4\pi\,a\,b\,c}{3}.

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