Exercício 2 - Calcule o volume do conjunto D em cada item:
D=\left\{(x, y, z) e m R^{3} ;(x-a)^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2<=a^{\wedge} 2, x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2+z^{\wedge} 2<=4 a^{\wedge} 2, z>0\right\}, com a em R positivo

Passo 1

O enunciado define
D = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid (x - a)^2 + y^2 \le a^2,\;x^2 + y^2 + z^2 \le 4a^2,\;z>0\},
onde a>0. Esse conjunto é a interseção do cilindro de raio a centrado na reta x=a,\;y=0 com a semiesfera de raio 2a acima do plano z=0. Para achar o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) centradas na origem.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e o jacobiano é r.
1. A condição do cilindro fica
(x - a)^2 + y^2 = (r\cos\theta - a)^2 + r^2\sin^2\theta = r^2 - 2ar\cos\theta + a^2 \le a^2 \;\Longrightarrow\; r \le 2a\cos\theta,
o que exige \cos\theta\ge0, i.e.\ \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
2. A semiesfera obriga
0\le z \le \sqrt{4a^2 - r^2}.

Passo 3

Montamos o integral triplo do volume:
V = \int_{\theta=-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \int_{r=0}^{2a\cos\theta} \int_{z=0}^{\sqrt{4a^2 - r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{\sqrt{4a^2 - r^2}}dz = \sqrt{4a^2 - r^2},
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V = \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \int_{0}^{2a\cos\theta} r\,\sqrt{4a^2 - r^2}\;dr\,d\theta.

Passo 5

Fazemos a substituição u = 4a^2 - r^2, du = -2r\,dr, para o integral em r:
\int_{0}^{2a\cos\theta} r\sqrt{4a^2 - r^2}\,dr = \frac{1}{3}\Bigl[(4a^2)^{3/2} - (4a^2\sin^2\theta)^{3/2}\Bigr] = \frac{8a^3}{3}\bigl[1 - |\sin\theta|^3\bigr].
Como \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2] temos |\sin\theta|=\sin|\theta|, então
V = \frac{8a^3}{3} \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\bigl[1 - |\sin\theta|^3\bigr]d\theta = \frac{16a^3}{3}\Bigl[\int_{0}^{\frac\pi2}1\,d\theta - \int_{0}^{\frac\pi2}\sin^3\theta\,d\theta\Bigr].
Sabendo \displaystyle\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^3\theta\,d\theta = \tfrac23, obtemos
V = \frac{16a^3}{3}\Bigl(\frac\pi2 - \frac23\Bigr) = \frac{8a^3}{9}\,(3\pi - 4).

Resposta

O volume do conjunto D é
\boxed{V = \frac{8a^3}{9}\,(3\pi - 4).}

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