Exercício 2 - Calcule o volume do conjunto D em cada item:
, com a em
positivo
Passo 1
O enunciado define
onde
. Esse conjunto é a interseção do cilindro de raio
centrado na reta
com a semiesfera de raio
acima do plano
. Para achar o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas
centradas na origem.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e o jacobiano é
.
. A condição do cilindro fica
o que exige
, i.e.\
.
. A semiesfera obriga
Passo 3
Montamos o integral triplo do volume:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
logo
Passo 5
Fazemos a substituição
,
, para o integral em
:
Como
temos
, então
Sabendo
, obtemos
Resposta
O volume do conjunto
é