Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
5 h 40 min

Passo 1

O enunciado pede: determinar a medida do menor ângulo entre os ponteiros de um relógio quando ele marca 5\\ \text{h}\\\ 40\\ \text{min}.
Informações relevantes dadas:
  • Hora: 5 horas.
  • Minutos: 40 minutos.
O que se quer: a menor medida do ângulo formado entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos, em graus.

Passo 2

Como medir a posição dos ponteiros em graus (noção básica e fórmula):
  • O círculo completo tem 360^\circ.
  • O relógio é dividido em 12 horas, então a cada número (uma hora) o ponteiro das horas se desloca \dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ.
  • O relógio tem 60 minutos; cada minuto no aro corresponde a \dfrac{360^\circ}{60}=6^\circ — esse é o movimento do ponteiro dos minutos por minuto.
  • O ponteiro das horas não fica parado durante a hora: em uma hora (60 min) ele avança 30^\circ, logo por minuto ele avança \dfrac{30^\circ}{60}=0{,}5^\circ.
Fórmulas úteis:
  • Posição do ponteiro dos minutos, em relação às 12h:
\theta_m = 6 \times (\text{minutos}).
  • Posição do ponteiro das horas, em relação às 12h (usando hora no formato de 12 horas):
\theta_h = 30 \times (\text{hora}) + 0{,}5 \times (\text{minutos}).
  • A diferença absoluta entre as posições é
\Delta = \bigl|\theta_h - \theta_m\bigr|.
  • O menor ângulo entre os ponteiros é
\alpha = \min\!\bigl(\Delta,\;360^\circ - \Delta\bigr).

Passo 3

Calcular a posição do ponteiro dos minutos para 40 minutos:
\theta_m = 6 \times 40 = 240^\circ.
Explicação: cada minuto = 6^\circ, então 40 minutos = 240^\circ contado a partir das 12h.

Passo 4

Calcular a posição do ponteiro das horas para 5 horas e 40 minutos:
\theta_h = 30 \times 5 + 0{,}5 \times 40.
Agora calcule passo a passo:
30 \times 5 = 150^\circ, \qquad 0{,}5 \times 40 = 20^\circ.
Portanto
\theta_h = 150^\circ + 20^\circ = 170^\circ.
Explicação: o ponteiro das horas em 5h está em 150^\circ, mas como já se passaram 40 minutos ele avançou mais 20^\circ.

Passo 5

Calcular a diferença absoluta entre as posições:
\Delta = \bigl|\,\theta_h - \theta_m\,\bigr| = \bigl|170^\circ - 240^\circ\bigr| = 70^\circ.
Agora verificar se existe um ângulo complementar menor (o outro lado do círculo):
360^\circ - \Delta = 360^\circ - 70^\circ = 290^\circ.
O menor entre 70^\circ e 290^\circ é 70^\circ. Portanto o menor ângulo formado é 70^\circ.

Passo 6

Checagem alternativa (intuitiva, sem fórmulas novas):
  • Em 5:00 o ângulo entre ponteiros é 150^\circ (hora em 150^\circ, minuto em 0^\circ).
  • Em 40 minutos o ponteiro dos minutos avançou 240^\circ e o das horas avançou 20^\circ. O ganho relativo do ponteiro dos minutos sobre o das horas é 240^\circ-20^\circ=220^\circ.
  • Subtraindo esse ganho relativo do ângulo inicial: |150^\circ-220^\circ|=70^\circ, mesma resposta — bom sinal de que o cálculo está consistente.

Resposta

70^\circ

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