Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
5 h 40 min
Passo 1
O enunciado pede: determinar a medida do menor ângulo entre os ponteiros de um relógio quando ele marca 5\\ \text{h}\\\ 40\\ \text{min}.
Informações relevantes dadas:
Hora: 5 horas.
Minutos: 40 minutos.
O que se quer: a menor medida do ângulo formado entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos, em graus.
Passo 2
Como medir a posição dos ponteiros em graus (noção básica e fórmula):
O círculo completo tem 360^\circ.
O relógio é dividido em 12 horas, então a cada número (uma hora) o ponteiro das horas se desloca \dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ.
O relógio tem 60 minutos; cada minuto no aro corresponde a \dfrac{360^\circ}{60}=6^\circ — esse é o movimento do ponteiro dos minutos por minuto.
O ponteiro das horas não fica parado durante a hora: em uma hora (60 min) ele avança 30^\circ, logo por minuto ele avança \dfrac{30^\circ}{60}=0{,}5^\circ.
Fórmulas úteis:
Posição do ponteiro dos minutos, em relação às 12h:
\theta_m = 6 \times (\text{minutos}).
Posição do ponteiro das horas, em relação às 12h (usando hora no formato de 12 horas):
O menor entre 70^\circ e 290^\circ é 70^\circ. Portanto o menor ângulo formado é 70^\circ.
Passo 6
Checagem alternativa (intuitiva, sem fórmulas novas):
Em 5:00 o ângulo entre ponteiros é 150^\circ (hora em 150^\circ, minuto em 0^\circ).
Em 40 minutos o ponteiro dos minutos avançou 240^\circ e o das horas avançou 20^\circ. O ganho relativo do ponteiro dos minutos sobre o das horas é 240^\circ-20^\circ=220^\circ.
Subtraindo esse ganho relativo do ângulo inicial: |150^\circ-220^\circ|=70^\circ, mesma resposta — bom sinal de que o cálculo está consistente.