Calcule a derivada
f(x)=x^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^x\sin x
Para isso vamos usar duas ideias principais: a regra do produto (para um produto de duas funções) e a forma de derivar x^x reescrevendo-a como exponencial.

Passo 2

Definimos
g(x)=x^x
e reescrevemos como
g(x)=e^{x\ln x}.
Derivando,
g'(x)=e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}[\,x\ln x\,]
e
\frac{d}{dx}[\,x\ln x\,]=1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x=\ln x+1.
Logo,
g'(x)=x^x(\ln x+1).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em
f(x)=g(x)\,\sin x.
Fica
f'(x)=g'(x)\,\sin x + g(x)\,\frac{d}{dx}[\sin x]
ou seja
f'(x)=x^x(\ln x+1)\,\sin x + x^x\cos x.

Passo 4

Podemos fatorar x^x para simplificar:
f'(x)=x^x\bigl[(\ln x+1)\sin x + \cos x\bigr].

Resposta

f'(x)=x^x\bigl[(\ln x+1)\sin x + \cos x\bigr].

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