Calcule a derivada
y=(3+\cos x)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = (3+\cos x)^{x},
que é do tipo u(x)^{v(x)}. Para diferenciá-la, vamos usar logaritmo (log-diferen­ciação) e, depois, aplicar a regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para facilitar:
\ln y = x \,\ln\bigl(3+\cos x\bigr).

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e cadeia, obtemos
\frac{1}{y}\,y' = 1\cdot \ln\bigl(3+\cos x\bigr) + x \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(3+\cos x\bigr)\Bigr].

Passo 4

Calculamos a derivada de \ln(3+\cos x) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(3+\cos x\bigr)\Bigr] = \frac{-\sin x}{3+\cos x}.
Logo,
\frac{1}{y}\,y' = \ln\bigl(3+\cos x\bigr) - \frac{x\,\sin x}{3+\cos x}.

Passo 5

Isolando y' e voltando à expressão original de y, temos
y' = y\;\Biggl(\ln\bigl(3+\cos x\bigr) - \frac{x\,\sin x}{3+\cos x}\Biggr) = (3+\cos x)^{x}\,\Biggl(\ln\bigl(3+\cos x\bigr) - \frac{x\,\sin x}{3+\cos x}\Biggr).

Resposta

y' = (3+\cos x)^{x}\,\Biggl(\ln\bigl(3+\cos x\bigr) - \frac{x\,\sin x}{3+\cos x}\Biggr).

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