Calcular as derivadas das funções abaixo.
y=\sqrt{1+\cos \left(t^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sqrt{1 + \cos\bigl(t^2\bigr)},
ou seja, vamos usar a regra da cadeia duas vezes: primeiro para a raiz quadrada y = (u)^{1/2} e depois para o cosseno composto \cos(t^2).

Passo 2

Definimos
u = 1 + \cos\bigl(t^2\bigr),
de modo que
y = u^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia em y, temos
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}\,u^{-1/2}\,\frac{du}{dt}.
Agora calculamos \frac{du}{dt}. Como
u = 1 + \cos\bigl(t^2\bigr),
temos
\frac{du}{dt} = -\sin\bigl(t^2\bigr)\,\cdot\frac{d}{dt}(t^2) = -\sin\bigl(t^2\bigr)\cdot 2t = -2t\,\sin\bigl(t^2\bigr).
Substituindo em \frac{dy}{dt}, obtemos
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}\,u^{-1/2}\,(-2t\,\sin(t^2)) = -t\,\sin\bigl(t^2\bigr)\,u^{-1/2}.
Por fim, voltamos a u = 1 + \cos(t^2):

Resposta

\frac{dy}{dt} = -\frac{t\,\sin\bigl(t^2\bigr)}{\sqrt{1 + \cos\bigl(t^2\bigr)}}.

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