Calcular as derivadas das funções abaixo.
y=\sqrt{1+\cos \left(t^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \sqrt{1 + \cos\bigl(t^{2}\bigr)}
Isso envolve regra da cadeia múltipla, pois há uma raiz quadrada, dentro dela uma soma e um cosseno, e por fim o argumento t^{2}.

Passo 2

Vamos identificar as funções compostas em três níveis:
  1. f(u) = \sqrt{u}
  2. g(v) = 1 + \cos(v)
  3. h(t) = t^{2}
    Assim y = f\bigl(g(h(t))\bigr). Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dt} = f'\bigl(g(h(t))\bigr)\,\cdot\,g'\bigl(h(t)\bigr)\,\cdot\,h'(t).

Passo 3

Calculamos f'(u). Como f(u)=u^{1/2},
f'(u) = \frac{1}{2\,u^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}.
Então
f'\bigl(g(h(t))\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{\,g(h(t))\,}} = \frac{1}{2\sqrt{\,1 + \cos(t^{2})\,}}.

Passo 4

Agora g(v)=1+\cos(v), logo
g'(v) = -\sin(v).
Substituindo v = h(t)=t^{2}, obtemos
g'\bigl(h(t)\bigr) = -\sin\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 5

Por fim h(t)=t^{2} implica
h'(t) = 2t.

Passo 6

Multiplicando todos os fatores da regra da cadeia:
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{1+\cos(t^{2})}} \;\times\; \bigl(-\sin(t^{2})\bigr) \;\times\; (2t).
Simplificando os 2 do numerador e denominador:
\frac{dy}{dt} = \frac{-2t\,\sin(t^{2})}{2\sqrt{1+\cos(t^{2})}} = \frac{-\,t\,\sin(t^{2})}{\sqrt{1+\cos(t^{2})}}.

Resposta

\frac{dy}{dt} = -\,\frac{t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)}{\sqrt{1+\cos\bigl(t^{2}\bigr)}}.

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