Considere a seguinte sequência de rotaçôes:
, seguida de
, e depois por
.
a) Determine os quatérnios equivalentes a estas rotações.
b) Usando álgebra de quatérnios, obtenha o quatérnio equivalente a esta sequência de rotaçōes;
c) A partir deste quatérnio equivalente, expresse a orientação final em relação à orientaçâo inicial na convenção ângulo eixo.
a) Determine os quatérnios equivalentes a estas rotações.
b) Usando álgebra de quatérnios, obtenha o quatérnio equivalente a esta sequência de rotaçōes;
c) A partir deste quatérnio equivalente, expresse a orientação final em relação à orientaçâo inicial na convenção ângulo eixo.
Passo 1
O enunciado pede a composição de três rotações elementares usando quatérnios. O conteúdo é:
- Representar cada rotação
pelo quatérnio
- Multiplicar os quatérnios na ordem da aplicação: primeiro
, depois , por fim . - Converter o quatérnio resultante em convenção ângulo–eixo.
Passo 2
Calculemos cada quatérnio usando
em radianos (mas expressos em graus para clareza):
- Para
: eixo , .
- Para
: eixo , .
- Para
: eixo , .
Passo 3
A composição é
Usando a regra
vemos que primeiro
e em seguida
Logo
Passo 4
Para converter em ângulo–eixo, note que se
então
dá
, e
já está normalizado.
Resposta
a)
,
,
.
b)
c)
Ângulo–eixo final: rotação de em torno de
.
Ângulo–eixo final: rotação de