Considere a seguinte sequência de rotaçôes: R\left(y, 90^{\circ}\right), seguida de R\left(z,-90^{\circ}\right), e depois por R\left(x, 90^{\circ}\right).
a) Determine os quatérnios equivalentes a estas rotações.
b) Usando álgebra de quatérnios, obtenha o quatérnio equivalente a esta sequência de rotaçōes;
c) A partir deste quatérnio equivalente, expresse a orientação final em relação à orientaçâo inicial na convenção ângulo eixo.

Passo 1

O enunciado pede a composição de três rotações elementares usando quatérnios. O conteúdo é:
  1. Representar cada rotação R(u,\theta) pelo quatérnio
q = \bigl[\cos(\tfrac\theta2),\;u_x\sin(\tfrac\theta2),\;u_y\sin(\tfrac\theta2),\;u_z\sin(\tfrac\theta2)\bigr].
  1. Multiplicar os quatérnios na ordem da aplicação: primeiro R(y,90^\circ), depois R(z,-90^\circ), por fim R(x,90^\circ).
  2. Converter o quatérnio resultante em convenção ângulo–eixo.

Passo 2

Calculemos cada quatérnio usando \theta/2 em radianos (mas expressos em graus para clareza):
  • Para R(y,90^\circ): eixo u=(0,1,0), \theta/2=45^\circ.
q_1 = \bigl[\cos45^\circ,\;0,\;\sin45^\circ,\;0\bigr] = \Bigl[\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,\tfrac{\sqrt2}{2},\,0\Bigr].
  • Para R(z,-90^\circ): eixo u=(0,0,1), \theta/2=-45^\circ.
q_2 = \bigl[\cos(-45^\circ),\;0,\;0,\;\sin(-45^\circ)\bigr] = \Bigl[\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,0,\,-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr].
  • Para R(x,90^\circ): eixo u=(1,0,0), \theta/2=45^\circ.
q_3 = \bigl[\cos45^\circ,\;\sin45^\circ,\;0,\;0\bigr] = \Bigl[\tfrac{\sqrt2}{2},\,\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,0\Bigr].

Passo 3

A composição é
q_{\rm final} \;=\; q_3 \;\otimes\; q_2 \;\otimes\; q_1.
Usando a regra
[p_w,\mathbf p_v]\otimes[q_w,\mathbf q_v] =\bigl[p_wq_w-\mathbf p_v\!\cdot\!\mathbf q_v,\; p_w\mathbf q_v+q_w\mathbf p_v+\mathbf p_v\times\mathbf q_v\bigr],
vemos que primeiro
q_2\otimes q_1 =\Bigl[\tfrac12,\;\tfrac12,\;\tfrac12,\;-\tfrac12\Bigr],
e em seguida
q_3\otimes(q_2\otimes q_1) =\Bigl[0,\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;0\Bigr].
Logo
q_{\rm final} = \Bigl[\,0,\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;0\Bigr].

Passo 4

Para converter em ângulo–eixo, note que se
q_{\rm final}=[\cos\tfrac\phi2,\;u_x\sin\tfrac\phi2,\;u_y\sin\tfrac\phi2,\;u_z\sin\tfrac\phi2],
então \cos(\varphi/2)=0 \varphi/2=90^\circ\Rightarrow\varphi=180^\circ, e
\sin(\tfrac\phi2)=1,\quad (u_x,u_y,u_z)=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2},0\Bigr)
já está normalizado.

Resposta

a) \displaystyle q_1=\bigl[\tfrac{\sqrt2}{2},0,\tfrac{\sqrt2}{2},0\bigr], \displaystyle q_2=\bigl[\tfrac{\sqrt2}{2},0,0,-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr], \displaystyle q_3=\bigl[\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2},0,0\bigr].
b) \displaystyle q_{\rm final}=\Bigl[\,0,\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2},0\Bigr].
c)
Ângulo–eixo final: rotação de \displaystyle180^\circ em torno de \displaystyle(1,1,0)/\sqrt2.

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