Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
Passo 1
O exercício pede para calcular a derivada da função composta f(x)=7·cos\bigl((x³+2x²+2x−3)/√x\bigr). Vamos usar conteúdos de derivadas: derivada de cos(u), regra da cadeia e derivada de potências (ou quociente).
Passo 2
Identificamos as funções interna e externa: a parte externa é h(t)=cos(t) e a parte interna é g(x)=
. Então temos f(x)=7·h(g(x)).
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia: f’(x)=7·h’(g(x))·g’(x). Como h’(t)=−sin(t), vem
Passo 4
Agora calculamos g’(x). Escrevemos g(x)=(x³+2x²+2x−3)·x^{-1/2} e aplicamos a regra do produto u(x)v(x) com u=x³+2x²+2x−3 e v=x^{-1/2}:
Passo 5
Passo 6
Simplificando g’(x) em potências de x, obtemos
Passo 7
ou, colocando tudo sobre o mesmo denominador,
Passo 8
Substituindo g’(x) em f’(x) chega-se ao resultado final.