Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
f(x)=7 cdot cos (x^3+2 x^2+2 x-3raizx)

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada da função composta f(x)=7·cos\bigl((x³+2x²+2x−3)/√x\bigr). Vamos usar conteúdos de derivadas: derivada de cos(u), regra da cadeia e derivada de potências (ou quociente).

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa: a parte externa é h(t)=cos(t) e a parte interna é g(x)= x^3+2x^2+2x-3raizx. Então temos f(x)=7·h(g(x)).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia: f’(x)=7·h’(g(x))·g’(x). Como h’(t)=−sin(t), vem
f'(x)=-7sinl(g(x)r),g'(x)

Passo 4

Agora calculamos g’(x). Escrevemos g(x)=(x³+2x²+2x−3)·x^{-1/2} e aplicamos a regra do produto u(x)v(x) com u=x³+2x²+2x−3 e v=x^{-1/2}:
u'(x)=3x^2+4x+2, v'(x)=-tfrac12x^-3/2,

Passo 5

g'(x)=u'v+uv'= (3x^2+4x+2)x^-1/2 - tfrac12(x^3+2x^2+2x-3)x^-3/2

Passo 6

Simplificando g’(x) em potências de x, obtemos
g'(x)=52x^3/2+3x^1/2+x^-1/2+32x^-3/2

Passo 7

ou, colocando tudo sobre o mesmo denominador,
g'(x)=5x^3+6x^2+2x+32x^3/2

Passo 8

Substituindo g’(x) em f’(x) chega-se ao resultado final.

Resposta

f'(x)=-7sin!l(x^3+2x^2+2x-3raizxr),5x^3+6x^2+2x+32x^3/2

Exercícios relacionados