Calcule a área da região delimitada :
por
e o eixo
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por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que é limitada pelas curvas $ y = 1 + x^{2} $, as retas verticais $ x = -2 $ e $ x = 2 $, e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é fundamental no cálculo para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é essa região. Imagine o gráfico da função $ y = 1 + x^{2} $. Essa é uma parábola que abre para cima e está deslocada 1 unidade acima do eixo $ x $. As retas $ x = -2 $ e $ x = 2 $ são linhas verticais que vão cortar essa parábola. O eixo $ x $ é a linha horizontal que representa $ y = 0 $. A área que queremos é aquela que está entre essas duas retas verticais, abaixo da parábola e acima do eixo $ x $.
Passo 3
Para encontrar essa área, vamos configurar uma integral definida. A ideia é integrar a função que delimita a parte de cima da região (nossa parábola) menos a função que delimita a parte de baixo (no caso, o eixo $ x $, que é $ y = 0 $), no intervalo de $ x = -2 $ até $ x = 2 $. A fórmula fica assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo. A integral de $ 1 + x^{2} $ em relação a $ x $ é:
Calculando cada parte separadamente:
Então, a antiderivada completa é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de $ -2 $ a $ 2 $:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas dadas é
unidades de área.