Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
z3(x)=tg(x) cdot tgh(x) cdot cos (x) cdot cosh (x) cdot sen(x) cdot senh(x)

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada de
z3(x)=tg(x)cdottgh(x)cdotcos(x)cdotcosh(x)cdotsen(x)cdotsenh(x)
Aqui vamos aplicar a regra do produto e as derivadas de funções trigonométricas e hiperbólicas.

Passo 2

Reconhecemos que é o produto de seis funções:
f1(x)=tg(x), f2(x)=tgh(x), f3(x)=cos(x), f4(x)=cosh(x), f5(x)=sen(x), f6(x)=senh(x).
A regra do produto estendida diz
ddxl(f1cdots f6r)=sumi=1^6 fi'(x)prodjneq ifj(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas básicas:
  • ddxtg(x)=sec^2(x)
  • ddxtgh(x)=sech^2(x)
  • ddxcos(x)=-sen(x)
  • ddxcosh(x)=sinh(x)
  • ddxsen(x)=cos(x)
  • ddxsenh(x)=cosh(x)

Passo 4

Substituindo na regra do produto, obtemos a soma de seis termos:
z3'(x)&=sec^2(x),tgh(x),cos(x),cosh(x),sen(x),senh(x) &+tg(x),sech^2(x),cos(x),cosh(x),sen(x),senh(x) &+tg(x),tgh(x),l(-sen(x)r),cosh(x),sen(x),senh(x) &+tg(x),tgh(x),cos(x),sinh(x),sen(x),senh(x) &+tg(x),tgh(x),cos(x),cosh(x),cos(x),senh(x) &+tg(x),tgh(x),cos(x),cosh(x),sen(x),cosh(x)

Passo 5

Perceba que cada termo contém o produto original z3(x). Fatorando-o, podemos escrever de forma mais compacta usando f'/f:
A forma final fica:

Resposta

z3'(x)=tg(x),tgh(x),cos(x),cosh(x),sen(x),senh(x)l[sec^2(x)tg(x)+sech^2(x)tgh(x)-tg(x)+tgh(x)+cot(x)+coth(x)r]

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