Considere as curvas r=2-2 cos (theta) e r=2.
Escrever a integral que permite calcular a área da região interna a segunda curva e externa a primeira.

Passo 1

Resumimos que queremos calcular a área da região que fica dentro da curva r=2 e fora da curva r=2-2cos(theta). O conteúdo envolvido é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula de área entre duas curvas polares:
A = 12 integral (router^2 - rinner^2) , dtheta

Passo 2

Para achar os pontos de interseção entre as duas curvas, igualamos r=2 e r=2-2cos(theta). Isso leva a:
2 = 2 - 2cos(theta) Rightarrow cos(theta)=0,
logo theta=pi/2 ou theta=3pi/2 são os limites angulares da região de interesse.

Passo 3

Precisamos determinar em quais valores de theta a curva r=2-2cos(theta) fica dentro da curva r=2. Observamos que quando cos(theta)>=0 (ou seja thetain[-pi/2,pi/2]), temos:
2-2cos(theta)<=2,
portanto a cardioide fica dentro do círculo nesse intervalo, que será nosso intervalo de integração.

Passo 4

Agora basta usar na fórmula de área polar os valores de router=2, rinner=2-2cos(theta) e os limites theta=-pi/2 e theta=pi/2.

Resposta

A = 12 integral-pi2^pi2 l(4 - (2-2costheta)^2r) , dtheta

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