Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
f(x)=log 5(raiz[3]sen(e^x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = log5l(raiz[3]sin(e^x)r). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e as propriedades de derivação de logaritmos, potências, seno e exponencial. Vamos precisar lembrar que a derivada de loga(u) é u'/(uln a) e que a raiz cúbica é uma potência u^1/3.

Passo 2

Primeiro aplicamos a derivada do logaritmo de base 5. Seja u(x)=raiz[3]sin(e^x). Então
[f’(x)=\frac{u’(x)}{u(x)\ln5}], agora falta achar u'(x).

Passo 3

Temos u(x) = [v(x)]^1/3 com v(x)=sin(e^x). Usando a regra da potência composta:
[u’(x)=\frac{1}{3}[v(x)]^{-2/3}\cdot v’(x)], onde aplicamos a cadeia para v(x).

Passo 4

Para v(x)=sin(e^x), a derivada é
[v’(x)=\cos(e^x)\cdot \frac{d}{dx}(ex)=\cos(ex),e^x].

Passo 5

Agora substituímos v'(x) em u'(x) e depois em f'(x):
[u’(x)=\frac{1}{3}[\sin(ex)]{-2/3}\cdot (\cos(ex),ex)]
e
[f’(x)=\frac{\frac{1}{3}[\sin(ex)]{-2/3},\cos(ex),ex}{[\sin(ex)]{1/3},\ln5}].

Passo 6

Por fim simplificamos as potências de sin(e^x): [sin(e^x)]^-2/3/[sin(e^x)]^1/3=[sin(e^x)]^-1. Assim obtemos:
[f’(x)=\frac{ex\cos(ex)}{3,\sin(e^x),\ln5}]

Resposta

f'(x)=dfrace^xcos(e^x)3,sin(e^x),ln5

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