Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e as propriedades de derivação de logaritmos, potências, seno e exponencial. Vamos precisar lembrar que a derivada de
é
e que a raiz cúbica é uma potência
.
Passo 2
Primeiro aplicamos a derivada do logaritmo de base 5. Seja
. Então
[f’(x)=\frac{u’(x)}{u(x)\ln5}], agora falta achar .
[f’(x)=\frac{u’(x)}{u(x)\ln5}], agora falta achar
Passo 3
Temos
com
. Usando a regra da potência composta:
[u’(x)=\frac{1}{3}[v(x)]^{-2/3}\cdot v’(x)], onde aplicamos a cadeia para .
[u’(x)=\frac{1}{3}[v(x)]^{-2/3}\cdot v’(x)], onde aplicamos a cadeia para
Passo 4
Para
, a derivada é
[v’(x)=\cos(e^x)\cdot \frac{d}{dx}(ex)=\cos(ex),e^x].
[v’(x)=\cos(e^x)\cdot \frac{d}{dx}(ex)=\cos(ex),e^x].
Passo 5
Agora substituímos
em
e depois em
:
[u’(x)=\frac{1}{3}[\sin(ex)]{-2/3}\cdot (\cos(ex),ex)]
e
[f’(x)=\frac{\frac{1}{3}[\sin(ex)]{-2/3},\cos(ex),ex}{[\sin(ex)]{1/3},\ln5}].
[u’(x)=\frac{1}{3}[\sin(ex)]{-2/3}\cdot (\cos(ex),ex)]
e
[f’(x)=\frac{\frac{1}{3}[\sin(ex)]{-2/3},\cos(ex),ex}{[\sin(ex)]{1/3},\ln5}].
Passo 6
Por fim simplificamos as potências de
:
. Assim obtemos:
[f’(x)=\frac{ex\cos(ex)}{3,\sin(e^x),\ln5}]
[f’(x)=\frac{ex\cos(ex)}{3,\sin(e^x),\ln5}]