Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
w(x)=cotg(ln ((x^3+5 x) cdot(raizx)))

Passo 1

A função dada é . O conteúdo é derivação de funções compostas, envolvendo regra da cadeia, derivadas de , w(x)=cotgl(lnl((x^3+5x)cdotraizxr)r), produto de funções e potências. Vamos usar todas essas regras.

Passo 2

Derivada de : pela regra, . Aqui cotg(u).
Derivada de dfracddx[cotg(u)] = -csc^2(u) cdot u': aplicando a regra de derivada do logaritmo, u(x)=lnl((x^3+5x)raizxr), onde u(x)=ln(v(x)).

Passo 3

Cálculo de v'(x) usando regra do produto: seja a(x)=x^3+5x e b(x)=x^1/2. Então a'(x)=3x^2+5 e b'(x)=tfrac12 x^-1/2. Logo,
v'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=(3x^2+5)raizx + (x^3+5x)12raizx

Passo 4

Substituindo em u'(x)=v'(x)/v(x) e depois em w'(x)=-csc^2(u),u', obtemos inicialmente:
w'(x)=-csc^2l(ln((x^3+5x)raizx)r)cdot(3x^2+5)raizx+(x^3+5x)tfrac12raizx(x^3+5x)raizx

Passo 5

Fazendo simplificação algébrica do quociente, chegamos a
(3x^2+5)raizx+(x^3+5x)tfrac12raizx(x^3+5x)raizx=7x^2+152(x^3+5x)

Passo 6

Portanto, a forma final simplificada é a combinação dessas expressões.

Resposta

w'(x)=-csc^2l(ln((x^3+5x)raizx)r),7x^2+152(x^3+5x)

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