Verifique se as sequēncias abaixo são monótonas e limitadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a sequência $ u_n = \frac{(2n)!}{5^n} $ é monótona e limitada. Isso envolve entender dois conceitos principais da matemática: monotonicidade (se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e limites (se a sequência tem um valor máximo ou mínimo que não ultrapassa). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da sequência passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Se a sequência está sempre aumentando, dizemos que ela é monotonamente crescente. Se está sempre diminuindo, é monotonamente decrescente. Para verificar isso, vamos comparar termos consecutivos da sequência, ou seja, $ u_{n+1} $ e $ u_n $.
Passo 3
Vamos calcular a razão entre $ u_{n+1} $ e $ u_n $:
Passo 4
Agora, temos:
Observamos que para todo $ n \geq 1 $, $ \frac{4n^2 + 6n + 2}{5} > 1 $, já que o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.
Passo 5
Como a razão $ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 $ para todo $ n $, isso significa que cada termo da sequência é maior que o anterior. Portanto, a sequência $ u_n $ é monotonamente crescente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa. Porém, $ (2n)! $ cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que $ 5^n $. Isso significa que, conforme $ n $ aumenta, $ u_n = \frac{(2n)!}{5^n} $ cresce sem limites.
Resposta
A sequência $ u_n = \frac{(2n)!}{5^n} $ é monotonamente crescente e não é limitada; ela cresce sem limites conforme $ n $ aumenta.