Verifique se as sequēncias abaixo são monótonas e limitadas
un=(2 n)!5^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a sequência $ u_n = \frac{(2n)!}{5^n} $ é monótona e limitada. Isso envolve entender dois conceitos principais da matemática: monotonicidade (se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e limites (se a sequência tem um valor máximo ou mínimo que não ultrapassa). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da sequência passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Se a sequência está sempre aumentando, dizemos que ela é monotonamente crescente. Se está sempre diminuindo, é monotonamente decrescente. Para verificar isso, vamos comparar termos consecutivos da sequência, ou seja, $ u_{n+1} $ e $ u_n $.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre $ u_{n+1} $ e $ u_n $:
un+1

Passo 4

Agora, temos:
un+1un = (2n+2)(2n+1)5 = 4n^2 + 6n + 25
Observamos que para todo $ n \geq 1 $, $ \frac{4n^2 + 6n + 2}{5} > 1 $, já que o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.

Passo 5

Como a razão $ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 $ para todo $ n $, isso significa que cada termo da sequência é maior que o anterior. Portanto, a sequência $ u_n $ é monotonamente crescente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa. Porém, $ (2n)! $ cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que $ 5^n $. Isso significa que, conforme $ n $ aumenta, $ u_n = \frac{(2n)!}{5^n} $ cresce sem limites.

Resposta

A sequência $ u_n = \frac{(2n)!}{5^n} $ é monotonamente crescente e não é limitada; ela cresce sem limites conforme $ n $ aumenta.

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