Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
f(x)=ln (sen(tg(e^x^7))) cdot sen(raiz[7]cos (e^x^2-3 x+2))

Passo 1

A questão pede para calcular f'(x) da função composta
f(x)=lnl(sin(tan(e^x^7))r)cdot sinl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r)
O conteúdo aqui é a derivação de produto e cadeia. Vamos precisar das derivadas de:
ln(u), • sin(u), • tan(u), • e^u, • potência u^1/7 e • cos(u).

Passo 2

Vamos definir
u(x)=lnl(sin(tan(e^x^7))r)
Aplicando a regra da cadeia para ln(z), temos
u'(x)=1sin(tan(e^x^7))cdot ddxl[sin(tan(e^x^7))r]
Agora, derivando sin(w) e tan(t) e e^x^7:
ddxsin(tan(e^x^7))=cos(tan(e^x^7))cdot sec^2(e^x^7)cdot e^x^7cdot 7x^6
Logo,
u'(x)=cos(tan(e^x^7))cdot sec^2(e^x^7)cdot e^x^7cdot 7x^6sin(tan(e^x^7))

Passo 3

Agora definimos
v(x)=sinl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r)
Para v'(x), aplicamos ddxsin(a)=cos(a)cdot a'. Seja a=(cos(e^x^2-3x+2))^1/7. Então
a'=17(cos(e^x^2-3x+2))^-6/7cdot l(-sin(e^x^2-3x+2)r)cdot ddx[e^x^2-3x+2]
Como ddxe^x^2-3x+2=e^x^2-3x+2(2x-3), obtemos
v'(x)=cosl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r)cdot 17(cos(e^x^2-3x+2))^-6/7cdot (-sin(e^x^2-3x+2))cdot e^x^2-3x+2(2x-3)

Passo 4

Por fim, usando a regra do produto (uv)'=u'v+uv', temos
f'(x)=nu'(x)cdot v(x)+nu(x)cdot v'(x)
Substituindo nu,nu',v,v':
f'(x)=cos(tan(e^x^7))sec^2(e^x^7)e^x^77x^6sin(tan(e^x^7))cdot sinl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r) +lnl(sin(tan(e^x^7))r)cdot gl[cosl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r)cdot -17(cos(e^x^2-3x+2))^-6/7sin(e^x^2-3x+2)e^x^2-3x+2(2x-3)gr]

Resposta

f'(x)=cosl(tan(e^x^7)r),sec^2(e^x^7),e^x^7,7x^6sinl(tan(e^x^7)r);sinl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r) +lnl(sin(tan(e^x^7))r);cosl((cos(e^x^2-3x+2))^1/7r);-17(cos(e^x^2-3x+2))^-6/7,sin(e^x^2-3x+2),e^x^2-3x+2(2x-3)

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